$ \text{cl}(\text{int}(A)) = \text{cl}(A)$ Cuando A es convexo

Question

¿Cómo puede uno demostrar que $ \text{cl}(\text{int}(A)) = \text{cl}(A)$, donde $ A \subseteq \mathbb{R}$ es convexo?

Sé que si es de $A$ % convexo, $\text{int(A)}$y $\text{cl(A)}$ también son convexos.

Necesito ayuda en $ \text{cl}(A) \subseteq \text{cl}(\text{int}(A))$ parte.

Answer 1

Supongo que el espacio es $\mathbb{R}^n$ con el estándar de la topología.

Su afirmación es falsa, como es, por ejemplo, un solo punto es un conjunto convexo, pero su interior está vacío, por lo $\mathrm{cl}(\{p\}) = \{p\} \neq \varnothing = \mathrm{cl}(\mathrm{int}(\{p\}))$. Sin embargo, bajo el supuesto de que el interior no está vacío, que es $\mathrm{int}(A) \neq \varnothing$, lo que dice es cierto.

Deje $x \in \mathrm{cl}(A)$ y deje $y \in \mathrm{int}(A)$ ser cualquier punto en el interior de las $A$. Sabemos que el interior de la $\mathrm{int}(A)$ es abierto, de modo que existe una bola de $B(y,\delta) \subset \mathrm{int}(A)$. Por otra parte $A$ es convexa, por lo tanto para todos los $z \in B(y,\delta)$ tenemos $[xz] \subset A$. Esto a su vez implica que el $(xy] \subset \mathrm{int}(A)$, y, finalmente,$x \in \mathrm{cl}(\mathrm{int}(A))$.

Lo anterior implica $\mathrm{cl}(A) \subset \mathrm{cl}(\mathrm{int}(A))$, de curso $\mathrm{cl}(\bullet)$ es monótona con respecto a $\subset$, por lo $\mathrm{cl}(A) = \mathrm{cl}(\mathrm{int}(A))$.

Divertirse ;-)