¿Convergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}((1/n)-\sin(1/n))$..?

Question

¿Converge la serie $\sum_{n=1}^{\infty}((1/n)-\sin(1/n))$..? Alguien por favor me puede dar una prueba simple...

Answer 1

En cuenta que

$$\frac{1}{n} - \sin{\left(\frac{1}{n}\right)} \sim \frac{1}{6 n^3}$$

$n \rightarrow \infty$. Continuación, utilice la prueba de comparación.

Answer 2

En caso de que usted no sabe la serie de encendido pero sé que $\sin'(t) = \cos(t)$ y $\sin(t) \le t$ $t \ge 0$:

$x-\sin(x) = \int_0^x (1-\cos(t))dt$.

$\cos(2t) = \cos^2(t)-\sin^2(t) = $ 1-2\sin^2(t) lo $1-\cos(t) = 2\sin^2(t/2) \le t^2/2$ desde $|\sin(t)| \le |t|$.

Por lo tanto $x-\sin(x) \le \int_0^x (t^2/2)dt = x^3/6$ y el resto de la prueba pasa como antes.