¿Las funciones analíticas delimitadas en el disco de la unidad son continuas en el círculo de la unidad?

Question

Deje que$f(z)$ sea holomorfo en el disco abierto$\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\}$. Además, deje que$f$ esté delimitado en el límite de$\mathbb{D}$, es decir,$$ \sup_{\varphi \in [0,2\pi]} |f(e^{i\varphi})| < \infty $ $ (esta clase de funciones a veces se llama$H^\infty$).

Mi pregunta se refiere a la función de límite$\tilde{f}(\varphi) := \lim_{r \rightarrow 1} f(r e^{i\varphi})$. ¿Es continuo?

Answer 1

No es cierto en general que un almacén de holomorphic función en la unidad de disco se extiende continuamente a la frontera. Esta respuesta por Jonas Meyer explica cómo construir una función explícitamente el uso de productos de Blaschke.

Sin embargo, si usted cree que el mapeo de Riemann teorema, hay una rápida forma geométrica para construir un contraejemplo. Considere el siguiente subconjunto cerrado del plano:

Esta es una variante de la famosa topologist desde la curva, y consiste en la gráfica de $y = \sin(\pi/x)$ $0<x<1$ junto con el segmento de la línea de $(0,-1)$ $(0,1)$y una curva desde el punto de $(0,0)$ hasta el punto de $(1,0)$.

Deje $U$ ser el interior de la región, es decir, delimitada componente del complemento de este conjunto cerrado. A continuación, $U$ es abierto y simplemente se conecta, de modo que existe un mapa de Riemann $f\colon\mathbb{D} \to U$ donde $\mathbb{D}$ es la de abrir la unidad de disco. La función de $f$ es holomorphic y delimitado, sino $f$ no puede extender continuamente hasta el límite de la disco, ya que el límite de $U$ no es una imagen continua de un círculo.