Estoy tratando de probar la siguiente igualdad: $$ <x_{f},\, it_{f}|x_{i},\, it_{i}>= \mathcal {N} \int_ { \left\ { x \in\mathbb {R}^{ \mathbb {R}}:\, x \left (t_{f} \right )=x_{f} \wedge x \left (t_{i} \right )=x_{i} \right\ } } \mathcal {D}x \exp\left\ { - \frac {1}{ \hbar } \int_ {t_{i}}^{t_{f}}dt \left\ { \frac {1}{2}m \left [x' \right ]^{2}- \left (-V \left [x \right ] \right ) \right\ } \right\ } $$ donde la definición de $ <x_f, t_f|x_i, t_i>$ está dada por:
$$ <x_{f},\, t_{f}|x_{i},\, t_{i}> \equiv\mathcal {N} \int_ { \left\ { x \in\mathbb {R}^{ \mathbb {R}}:\, x \left (t_{f} \right )=x_{f} \wedge x \left (t_{i} \right )=x_{i} \right\ } } \mathcal {D}x \exp\left\ { \frac {i}{ \hbar } \int_ {t_{i}}^{t_{f}}dt \left\ { \frac {1}{2}m \left [x' \right ]^{2}- \left (V \left [x \right ] \right ) \right\ } \right\ } $$
Lo que he hecho hasta ahora:
-
Supongamos que el dominio de la integración, es decir, $ \left\ { x \in\mathbb {R}^{ \mathbb {R}}:\, x \left (t_{f} \right )=x_{f} \wedge x \left (t_{i} \right )=x_{i} \right\ }$ es tal que todas las funciones de este conjunto pueden continuar analíticamente a un nuevo dominio de integración $ \left\ { x \in\mathbb {C}^{ \mathbb {C}}:\, x \left (it_{f} \right )=x_{f} \wedge x \left (it_{i} \right )=x_{i} \right\ } $ . ¿Esto es válido?
-
Conecta las definiciones: $<x_{f},\, it_{f}|x_{i},\, it_{i}>= \mathcal {N} \int_ { \left\ { x \in\mathbb {C}^{ \mathbb {C}}:\, x \left (it_{f} \right )=x_{f} \wedge x \left (it_{i} \right )=x_{i} \right\ } } \mathcal {D}x \exp\left\ { \frac {i}{ \hbar } \int_ {it_{i}}^{it_{f}}dt \left\ { \frac {1}{2}m \left [x' \right ]^{2}- \left (V \left [x \right ] \right ) \right\ } \right\ }$
-
Ahora para calcular $ \int_ {it_{i}}^{it_{f}}dt \left\ { \frac {1}{2}m \left [x' \right ]^{2}- \left (V \left [x \right ] \right ) \right\ } $ hacer un cambio de variable (¿esto es válido?? ¿No necesitas el teorema de Cauchy y también asumir que los límites de tiempo van al infinito?) $t \mapsto -it$ para conseguir: $i \int_ {t_{i}}^{t_{f}}dt \left\ { \frac {1}{2}m \left [x' \right ]^{2}+V \left [x \right ] \right\ } $ así que tienes el exponente correcto.
-
¿Pero cómo pruebas que $ \mathcal {N} \int_ { \left\ { x \in\mathbb {C}^{ \mathbb {C}}:\, x \left (it_{f} \right )=x_{f} \wedge x \left (it_{i} \right )=x_{i} \right\ } } \mathcal {D}x = \mathcal {N} \int_ { \left\ { x \in\mathbb {R}^{ \mathbb {R}}:\, x \left (t_{f} \right )=x_{f} \wedge x \left (t_{i} \right )=x_{i} \right\ } } \mathcal {D}x$ ? ¿Es incluso el mismo $ \mathcal {N}$ ?
