Morfismo de grupos algebraicos definido en $\overline{\mathbb{Q}}$

Question

Mi pregunta es acerca de la teoría general de la algebraica de los grupos, en la que todavía estoy lejos de ser cómodo. Quiero entender una frase en Milne "Shimura variedades" http://www.jmilne.org/math/xnotes/svi.pdf , parte inferior de la página 60.

Consideramos que una reductora grupo $G$ definido a lo largo del $\mathbb{Q}$, por lo que Milne definido un peso homomorphsm (cf. página 54 para una definición) $w_X:\mathbb{G}_m\rightarrow \mathbb{G}_{\mathbb{R}}$. La frase no estoy recibiendo es: "El peso homomorphism $w_X$ es un homomorphism $\mathbb{G}_m\rightarrow \mathbb{G}_{\mathbb{R}}$ $\mathbb{R}$ algebraico de los grupos que se definen en $\mathbb{Q}$. Por lo tanto, es definido a lo largo del $\overline{\mathbb{Q}}$"

¿Por qué podemos reducir a $\overline{\mathbb{Q}}$? Supongo que es porque uno trabaja aquí sólo con algebraicas tori (la imagen de $\mathbb{G}_m$ se encuentra en el centro de la $Z$$G$). Porque para un general de morfismos entre algebraica de los grupos, esto no parece ser cierto: tomar $\mathbb{G}_{a,\mathbb{R}}=\mathrm{Spec}$ $\mathbb{R}[T]$, el aditivo grupo de más de $\mathbb{R}$, y el de morfismos $\mathbb{G}_{a,\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{G}_{a,\mathbb{R}}$ por $T\mapsto \pi T$, que no parece ser definido a lo largo del $\overline{\mathbb{Q}}$.

Gracias por tu ayuda !

Yoël.

Answer 1

Sí, esto es una declaración acerca de tori (o más generalmente grupos de tipo multiplicativo). Los homomorphisms de $\mathbb{G}_m$ a sí mismo son lo mapas de $t\mapsto t^n$, $n\in\mathbb{Z}$, y esto no cambia cuando se extiende el campo. Por lo tanto, para dividir tori, no te homomorphisms más al ampliar el campo. Cada Toro se divide sobre una extensión algebraica finita, se sigue que para tori definido en $\mathbb{Q}$, cada homomorfismo sobre $\mathbb{C}$ se define en la clausura algebraica de $\mathbb{Q}$.