¿Mostrar que $m(A)=n(A)$ cuando $A\in\mathcal B$?

Question

Estoy tratando de completar este problema de Bass' Real Análisis del libro:

Deje $\mathcal B$ ser el Borel $\sigma$-álgebra en $\Bbb{R}$, y supongamos que $m,n$ son medidas en $(\Bbb{R},\cal B)$ tal que $m(a,b)=n(a,b)<\infty$ siempre $-\infty<a<b<\infty$. Mostrar que $m(A)=n(A)$ todos los $A\in\cal B$.

No estoy muy seguro de cuál es la mejor manera de proceder es. Obviamente el resultado es true si $A$ es abierto, porque entonces es sólo una contables de la unión de distintos intervalos abiertos. Sin embargo, no estoy seguro de cómo clasificar lo de "cada" elemento de $\cal B$ parece; por supuesto, incluye todos los intervalos cerrados, y los intervalos de la forma $[a,\infty)$, y así sucesivamente... una prueba por casos parece que sería de sentido, pero no sé cómo estar seguro de que me he metido en cada caso.

Para que quede claro, yo preferiría un perspicaz sugerencia vez que alguien me da la solución completa.

Answer 1

Su pregunta es el Ejercicio 3.9 en Chatper 3 del Bajo Análisis Real. En el Capítulo 2 de su libro (la Proposición 2.8), se muestra que la $\mathcal{B}$ es generado por la colección $$ \mathcal{C}=\{(a,b)\mediados de los a,b\in\mathbb{R}\}. $$

Lo que usted necesita es la monotonía de la clase teorema en la última sección del Capítulo 2.

Sugerencias:

• Mostrar que $\mathcal{M}:=\{m(A)=n(A)\mid A\in\mathcal{B}\}$ es una monotonía de la clase.

• [Añadido:] Vamos a $\mathcal{A}$ ser el álgebra generada por $\mathcal{C}$. Mostrar que $m$ $n$ está de acuerdo en $\mathcal{A}$ también y por lo tanto $\mathcal{A}\subset\mathcal{M}$.

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[Añade más adelante:] vale la pena señalar que este es un truco común para lidiar con $\sigma$-álgebras: en lugar de mostrar directamente algunas de instrucción (en esta pregunta $m(A)=n(A)$) es verdadera en un $\sigma$-álgebra, uno define una colección de subconjuntos donde la declaración sostiene. A continuación, una muestra de que esta colección coincide con la $\sigma$-álgebra.

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Para el segundo bullete punto de las sugerencias, se puede aplicar la idea similar. En lugar de mostrar directamente que $m$ $n$ está de acuerdo en la $\mathcal{A}$, uno puede mostrar que $\mathcal{M}$ es un álgebra. A continuación, debemos tener $\mathcal{A}\subset\mathcal{M}$ por la elección de $\mathcal{A}$.

Answer 2

Es difícil mostrar algo acerca de cada subconjunto de Borel por la fijación de $A\in\mathcal{B}$ debido a que, como se señaló, cualquier conjunto de Borel puede ser bastante complicado y no podemos escribirlo como algunos conveniente de la unión. En su lugar, a menudo es más útil considerar a la colección con la propiedad deseada y muestran que contiene los conjuntos de Borel, para lo cual es suficiente para demostrar que la colección contiene los bloques abiertos y es un $\sigma$-álgebra (a continuación, debe contener el Borel $\sigma$-álgebra, la cual se define como el menor $\sigma$-álgebra que contiene todos los bloques abiertos). Así que en este caso, fix $\mathcal{A}=\{A\subset\mathbb{R}\mid m(A)=n(A)\}$ y tratamos de demostrar que un conjunto es una $\sigma$-álgebra que contiene los bloques abiertos. Jack la observó, la monotonía de la clase teorema es útil cuando usted está tratando de demostrar que una colección es una $\sigma$-álgebra, y usted debe pensar acerca de ello aquí.