Irreductibilidad de $f(x)=x^4+3x^3-9x^2+7x+27$

Question

La pregunta en cuestión es:

Es $x^4+3x^3-9x^2+7x+27$ irreductible en $\Bbb Q$ y/o $\Bbb Z$.

Esto es para un examen, el razonamiento es trivial, pero no hay calculadoras en mano. Claramente, si hay una raíz racional, son enteros Racionales teorema de la Raíz y desde $f$ es monic.

Soy consciente de

1. Racional de la raíz teorema, el cual reduce las opciones a $\pm1,\pm3,\pm9,\pm27$, y claramente, sin raíces.

2. Eisenstein, de la Irreductibilidad de los Criterios, por no ayudar aquí, gracias a $x$'s coeficiente de $7$

3. Cohn Irreductibilidad de la prueba: $12197$ es un primo, un número demasiado grande para demostrar que se trata de una primer mano.

4. Descartes Regla de los signos: en la mayoría de los 2 (o 0) positivo/negativo raíces. Lo suficientemente cerca.

Ninguno de los que me están ayudando de alguna manera, ya que no puede utilizar una calculadora.

Estas son las soluciones que he intentado:

1. El alfa dice que todas las raíces son complejas. Me hizo buscar si hay alguna manera para determinar si todas las raíces son complejas, llegando a ningún lugar.

2. Verifique si hay algún fáciles de primer generación de funciones como la de Euler, y si la suerte 12197 cae en esa lista, lo mejor que tiene es de Euler, $n^2+n+41, 1\le n<40$, y mayor es $1601$, no ayuda.

Hay mejores maneras de determinar si este polinomio es irreducible sobre $\Bbb Q$, sin el uso de calculadoras?

Answer 1

Si usted toma el polinomio modulo 2 tiene $x^4+x^3+x^2+x+1$. No tiene una raíz, por lo que si es descomponible, es un producto de dos polinomios irreducibles de grado 2. Solo polinomio de grado 2 que no tiene una raíz $x^2+x+1$ y su plaza $x^4+x^2+1$. Se deduce que el polinomio es irreducible módulo $2$ y por lo tanto irreducible en $\mathbb{Z}$.

Answer 2

$\mathbb{F}_3$ Tu polinomio divide como $x(x+1)^3$, sin suerte.

$\mathbb{F}_5$ Tu polinomio divide como $(x+1)(x^3+x^2+2)$. Eso es suficiente para afirmar que el polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, ya que sabemos de antemano que no tiene ninguna raíz racional.

También puede notar que $p(x)=x^4 + 3 x^3 - 9 x^2 + 7 x + 27$ toma valores principales para cualquier $x\in\{-20,-17,-14,-5,-2,1,4,10,13\}$, pero ningún polinomio reducible $\mathbb{Q}$ $4$ de grado puede tomar valores principales nueve en nueve puntos diferentes.

Answer 3

Haciéndose eco de la respuesta mediante nota de Prometeo que modulo $2$ el polinomio reducido es $\Phi_5$, que es irreducible módulo $2$, ya que orden $2$ $4$ $\Bbb Z_5^\times$: $2^2=4,2^3=8,2^4=16=1$. En general es irreducible en $n$ $\Phi_n$-th ciclotómicas polinomio $\Bbb F_q[X]$ $q$ de la FIB tiene orden $\varphi(n)$ $\Bbb Z_n^\times$.

Answer 4

Irreductibilidad $\mathbb Q$ es igual a $\mathbb Z$ (lema de Gauss). Existe ninguna raíz (real o complejo) no superior al $1$ en valor absoluto ($27>1+3+9+7$). Por lo tanto, si existe una factorización en dos polinomios, los términos libres deben ser $\pm 3$ $\pm 9$ (si no, por Vieta, el polinomio con el término libre $\pm 1$ tiene una raíz con valor absoluto $\le 1$). Sin embargo el coeficiente $x$ debe ser divisible por $3$ y no es.

Answer 5

Teorema. (Gauss). Si $p(x)\in Z[x]$ es reducible $Q$ entonces $p(x)$ es reducible sobre Z. Y para mostrar que $p(x)=x^4+3x^3-9x^2+7x+27$ no es el producto de dos cuadráticas en $Z[x]$, basta para mostrar eso si $p(x)=(x^2+A x+B)(x^2+C x+D)$ con cuatro casos: $(B,D)\in \{(1,27),(-1,-27),(3,9),(-3,-9)\}$,... entonces $A+B=3$ y $B+D+AC=-9$ y $A D+B C=7$, que no puede resolverse en enteros $A,C$.