Probar que converge que $\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x^p}\, dx$ $0<p<2$

Question

Aprecio mucho los comentarios y orientación. Esto es de una año pasado el examen y mi profesor no cubren la mayor parte de las integrales impropias. Estoy tratando de demostrar que $\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x^p}\, dx$ converge para $0<p<2$ mediante la prueba de comparación para las integrales impropias. Sé que de la prueba, si $|f(x)| \leq g(x) \forall x\geq a$ $\int_a^{\infty} g(x)\, dx$ converge.

EDIT: Aquí está mi segundo intento en la prueba después de mucha discusión en los comentarios de abajo.

Sabemos que $\frac{\sin x}{x^p}$ será continua en 1 porque $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sin x}{x^p} = lim_{x\rightarrow 1} x^{-p} \sin(x) = 1^{-p}\sin(1) = \sin(1)$.

Sin embargo, para 0 tenemos que:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^p} = \frac{\sin 0} {0^{p}} = \frac{0}{0^{-p}} = \frac{1}{0^{p-1}}$. Ya que no podemos tener 0 en el denominador, sólo tenemos continuidad en 0 si p-1 < 1, lo que implica p<2.

Y así, por un teorema, sabemos que $\frac{\sin(x)}{x^p}$ es Riemann integrable en [0,1] para p<2. Además, por la indebida límite de la prueba de comparación, si podemos demostrar que $\int_1^{\infty} f(x)\, dx$, entonces podemos demostrar que $\int_0^{\infty} f(x)\, dx$ converge. Por lo tanto, tenemos que

$\lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^{b} \frac{\sin(x)}{x^p}\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^{b} \frac{\sin(x)}{x^p}\,dx =\lim_{b\rightarrow \infty} -\frac{cos x}{{p}} |_p^{b} - \int_1^{b} \frac{\cos x}{(p-1)x^{p+1}}\,dx$

Y sé que desde $\int \frac{cos x}{x^{p+1}} < \int \frac{1}{x^{p+1}}$, y desde el RHS se converge si y sólo si p+1 > 1, tenemos que p>0.

Y así, llegamos a la conclusión de que la integral converge para $0<p<2$.

Answer 1

Integrar por partes con $u=x^{-p}$ y $v=-\cos(x)$. Entonces, podemos escribir

$$\int1^L \frac{\sin(x)}{x^p}\,dx=\left.\left(-\frac{\cos(x)}{x^p}\right)\right|{1}^{L}-p\int_1^L \frac{\cos(x)}{x^{p+1}}\,dx$$