Si $X_1, ... , X_n$ ser iid exponencial con media de $1/\lambda$. Deje $S_n = X_1 + ... + X_n$.
a) Mostrar que $S_n$$\Gamma(n, 1/\lambda)$.
Cada una de las $X_i$ $\Gamma(1, 1/\lambda)$ por la definición de una distribución exponencial. Podemos mirar a la mgf de $S_n$.
$$M(t) = E(e^{t \sum X_i}) = E(e^{tX_1})...E(e^{tX_n}) = (\frac{1}{1-t/\lambda})...(\frac{1}{1-t/\lambda}) = (\frac{1}{1-t/\lambda})^n,$$
que es la mgf de $\Gamma(n, 1/\lambda)$. Por lo $S_n \sim \Gamma(n, 1/\lambda)$.
b) Mostrar que el $\frac{(S_n - n/\lambda)}{\sqrt{n}}$ converge en distribución e identificar la distribución asintótica.
Por el Teorema Central del Límite, sabemos que $\frac{(S_n - n\mu)}{\sqrt{n}(1/\lambda^2)} = \frac{(S_n/n - \mu)}{(1/\lambda^2)(1/\sqrt{n})}$ converge en distribución a $N(0,1)$.
Vemos que $\frac{(S_n/n - 1/\lambda)}{(1/\lambda^2)(1/\sqrt{n})} = \frac{(S_n/\sqrt{n} - \sqrt{n}/\lambda)}{(1/\lambda^2)}(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}) = \frac{S_n - n/\lambda}{(1/\lambda^2)(\sqrt{n})}$
Así, $$\frac{S_n - n/\lambda}{(1/\lambda^2)(\sqrt{n})} \xrightarrow{D} N(0,1)$$ implies that $$ \frac{S_n - n/\lambda}{(\sqrt{n})} = (1/\lambda^2)\frac{S_n - n/\lambda}{(1/\lambda^2)(\sqrt{n})} \xrightarrow{D} N(0, 1/\lambda^4).$$
c) Mostrar que el $\sqrt{n}(\sqrt{S_n/n} - \sqrt{1/\lambda})$ converge en distribución e identificar la distribución asintótica.
Hay un teorema en nuestro libro de texto (Introducción a la Estadística Matemática por Hogg) que los estados,
Deje $\{X_n\}$ ser una secuencia de variables aleatorias tales que $\sqrt{n}(X_n - \theta) \xrightarrow{D} N(0, \sigma^2)$. Supongamos que la función de $g(x)$ es diferenciable en a$\theta$$g'(\theta) \not= 0$. A continuación, $\sqrt{n}(g(X_n) - g(\theta)) \xrightarrow{D} N(0, \sigma^2(g'(\theta)^2)$.
De la parte b), podemos ver que $$\frac{\sqrt{n}(S_n/n - 1/\lambda)}{(1/\lambda^2)} \rightarrow N(0,1).$$
Por lo $$\sqrt{n}(S_n/n - 1/\lambda) \rightarrow N(0, 1/\lambda^4)$$.
Ahora aplicamos el teorema. Tenemos $g(x)=\sqrt{x}$. Por lo $g'(x)=1/(2\sqrt{x})$, e $g'(\frac{1}{\lambda}) = \frac{\sqrt{\lambda}}{2}$.
Así que por el teorema de,
$$\sqrt{n}(\sqrt{S_n/n} - \sqrt{1/\lambda}) \rightarrow N(0, (\frac{\sqrt{\lambda}}{2\lambda^4})).$$
¿Crees que mis respuestas son correctas?
