Mientras estaba resolviendo la pregunta de Harsh Kumar, no pude encontrar las raíces reales solo porque cambié el signo de$5y^2$. También probé que no existe ninguna solución real de esa ecuación.
La ecuación que hice por error fue:$$5x^2+5y^2-8xy-2x-4y+5=0.$ $
Por favor, ayúdeme a aclarar que no existe una solución real para esta ecuación y, si existe, búsquelas.
Podemos reescribir esto como $$ 4x ^ 2 - 8xy + 4y ^ 2 + x ^ 2 -2x + 1 + y ^ 2 - 4y + 4 = 0 \\ (2x + 2y) ^ 2 + (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = 0 $$ y vemos que esta es una suma de tres cuadrados (reales) que es igual a$0$. Si la suma de tres cuadrados es igual a$0$, entonces eso significa que cada uno de los cuadrados es cero. Pero$(x-1)^2 = 0$ significa$x = 1$ y$(y-2)^2 = 0$ significa$y = 2$, y luego$(2x+2y)^2 \neq 0$. Por lo tanto, no puede haber soluciones reales a esta ecuación polinomial.
Es claro que no existe ninguna solución real de la ecuación de $5x^2+5y^2-8xy-2x-4y+5=0$.
Reescribir la ecuación como una ecuación cuadrática en $y$ $$5y^2-y(8x+4)+5x^2-2x+5=0$$ sobre el uso de fórmula cuadrática $$y=\frac{(8x+4)\pm2\sqrt{-9x^2+26x-21}}{10}\tag{1}$$
Ahora la expresión bajo el signo radical en $(1)$ nunca puede ser positiva y, por tanto, $y$ no puede tomar un valor real para cualquier valor real de $x$. De hecho, $$-9x^2+26x-21=-9\times\left[\left(x-\frac{13}{9}\right)^{2}+\frac{20}{81}\right]$$
que es negativo, cualquiera que sea el valor de $x\in\Bbb R$ puede tener.
Por lo tanto, la ecuación de $5x^2+5y^2-8xy-2x-4y+5=0$ no está satisfecho por cualquier par de números reales $x$$y$.
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