Los números complejos en forma polar se elevaron a una potencia

Question

$$ \left ( 1 + \cos \frac {π}{6} + i \sin\frac {π}{6} \right )^6$$

Para una pregunta como esta, lo primero que se me ocurriría usar es el Teorema de DeMoivre, sin embargo, siendo toda la parte real (1+cos(π/6)), no estoy seguro de si la regla se aplicará.

¿Cómo puedo abordar esto?

Answer 1

Obsérvese que $ \cos\frac\pi6 +i \sin\frac\pi6 $ es el vector unitario del argumento $ \pi /6$ . Es fácil ver que este vector cuando se añade a 1 da un vector de argumento $ \pi /12$ y la longitud $ \sqrt {1^2+1^2-2 \cos\frac {5 \pi }6}= \sqrt {2+ \sqrt3 }$ .

Llevar esto a la sexta potencia multiplica el argumento por seis (por lo tanto se convierte en $ \frac\pi2 $ ) y eleva la longitud a la sexta potencia (por lo tanto $(2+ \sqrt3 )^3=8+3 \cdot4\sqrt3 +3 \cdot6 +3 \sqrt3 =26+15 \sqrt3 $ ). El resultado final es $(26+15 \sqrt3 )e^{i \pi /2}$ o $(26+15 \sqrt3 )i$ .

Answer 2

Pista : Observa que, para cualquier $ \theta \in \mathbb {R}$ Tenemos $$1+e^{i \theta }= e^{i 0}+e^{i \theta }=e^{i \theta /2}(e^{-i \theta /2 }+e^{i \theta /2})=2e^{i \theta /2} cos( \theta /2).$$

Answer 3

Pista :

Para tener anotaciones más ligeras, establezca $\;u= \mathrm e^{ \tfrac {i \pi }6}$ , $ \bar u= \mathrm e^{- \tfrac {i \pi }6}$ y reescribir la suma como \begin {alinear} (1&+u)^6+(1+ \bar u)^6= \\ 2&+6(u+ \bar u)+15(u^2+ \bar u^2)+20(u^3+ \bar u^3)++15(u^4+) \bar u^4)+6(u^5+ \bar u^5)+u^6+ \bar u^6. \end {alinear} Puedes calcular las sumas de los poderes gradualmente. Ten en cuenta que $u+ \bar u= \sqrt 3$ que $u^3=i$ , $ \bar u^3=-i$ así que $u^3+ \bar u^3=0$ y que $u\, \bar u=1$ .

Edita :

Podemos utilizar el mismo método (ampliando el binomio) para la nueva formulación de la pregunta: $$(1+u)^6=1+6u+15u^2+20u^3+15u^4+6u^5+u^6.$$ Además de lo anterior, observe que..:

• $u+u^5=2 \operatorname {Im} u=i$ ,
• $u^2+u^4=2 \operatorname {Im} u^2=i \sqrt 3$ ,

así que $\;(1+u)^6=1+(26+15 \sqrt 3)i.$