$\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\tan^{n}x}dx$

Question

Estoy tratando de resolver la integral: $$I=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\tan^{n}x}dx$$ He intentado varios métodos que se muestran a continuación: $$I(n)=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\tan^nx}dx$$ $x=\arctan(u)$ $$I(n)=\int_0^\infty\frac{1}{1+u^n}\frac{1}{1+u^2}du$$ pero esto no parece conducir a ninguna parte. También probé: $$I(a)=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\tan^ax}dx$$ $$I'(a)=\int_0^{\pi/2}\frac{\ln(\tan x)}{\left(1+\tan^ax\right)^2}dx$$ pero esto sólo parece complicarse más.

También veo que puede ser expresado como: $$I(b)=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\tan^b(x)}dx=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^b(x)}{\cos^b(x)+\sin^b(x)}dx$$ un pensamiento final es el uso de la identidad: $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$ así: $$\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^b(x)}{\cos^b(x)+\sin^b(x)}dx=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^b(x)}{\sin^b(x)+\cos^b(x)}$$ y por lo tanto: $$2I(b)=\int_0^{\pi/2}1dx=\pi/2$$ $$I(b)=\pi/4$$ $$I=\pi/4$$ hace este trabajo? Gracias

Answer 1

Parece muy bien, pero tienes un error en la última parte. Debe ser <span class="math-container">$I(b) = \pi/4$</span> no <span class="math-container">$\pi/2$</span>. También podríamos hacerlo más rápido: <span class="math-container">$$ me = \int_0^{\pi/2} \frac {\mathrm dx} {1 + \tan (x) ^ \pi} = \int_0^{\pi/2} \frac {\mathrm dx} {1 + \cot (x) ^ \pi} = \int_0^{\pi/2} \frac {\tan (x) ^ \pi \mathrm dx} {1 + \tan (x) ^ \pi} \implies 2I = \frac \pi 2 \implies I = \frac \pi 4. $$</span>

Answer 2

Me gustaría destacar que su sustitución <span class="math-container">$x = \arctan{u}$</span> trabaja demasiado; como sigue:

No <span class="math-container">$u \mapsto {u}^{-1}$</span> <span class="math-container">$\displaystyle I(n)=\int_0^\infty\frac{1}{1+{u}^{-n}}\frac{1}{1+u^{-2}} \cdot \frac{1}{u^2}\,du =\int_0^\infty\frac{1}{1+{u}^{-n}}\frac{1}{1+u^{2}} \, du$</span>

Por lo tanto, <span class="math-container">$\displaystyle 2I(n) = \int_0^{\infty} \frac{1}{u^2+1}\bigg(\frac{1}{1+u^n}+\frac{1}{1+u^{-n}}\bigg)\,du$</span> y <span class="math-container">$\displaystyle \frac{1}{1+u^n}+\frac{1}{1+u^{-n}} = 1$</span>.

Por lo tanto, <span class="math-container">$\displaystyle 2I(n) = \int_0^{\infty} \frac{1}{u^2+1}\,{du} = \frac{\pi}{2}$</span> por lo tanto <span class="math-container">$\displaystyle I(n) = \frac{\pi}{4}$</span> como usted correctamente encontraste.

Answer 3

Uso <span class="math-container">$$\int _a^b f(a+b-x)dx=\int_a^b f(x)dx$$ and see the magic happen. The answer is <span class="math-container">$\frac{\pi}{4} $</span> realmente es verdad para cualquier número no negativo.</span>

Answer 4

El método habitual para integrales de esta forma es utilizar

<span class="math-container">$$t=\tan\frac{u}{2}$$</span>