Pregunta de primer año de universidad sobre la divisibilidad de los enteros

Question

Estoy teniendo problemas con una pregunta de práctica.

Dado $n$ es un número entero, demuestre que $2$ divide $(n^4 -3)$ si $4$ divide $(n^2 +3)$ .

Así que sé que como es una declaración iff, tengo que mostrar la implicación que va en ambos sentidos. Vamos a empezar con el lado izquierdo primero.

Existe un número entero $r$ tal que $2 r = n ^ 4 - 3$ . Aquí, estoy pensando en mi cabeza cómo puedo conseguir que la ecuación se parezca a la conclusión, es decir $4a = (n^2 + 3)$ para un número entero $a$ . Veo que podemos jugar con el $3$ en ambos lados. $$3 = n^4 - 2r$$ $$3 + n^2 = n^4 + n^2 - 2r$$ Así que aquí es donde estoy atascado. ¿Cómo puedo mostrar que puedo factorizar un $4$ ¿a cabo de este lado derecho? Gracias.

Answer 1

Prueba:

Como el enunciado es bicondicional, debemos demostrar las dos afirmaciones siguientes:

$(a)$ Si $2|(n^4 − 3)$ entonces $4|(n^2 + 3)$

$(b)$ Si $4|(n^2 + 3)$ entonces $2|(n^4 − 3)$

Comenzaremos con la declaración $(b) ($ ya que debería ser la más fácil de probar $)$

Vamos a demostrar esta afirmación directamente. Supongamos que $4|(n^2 + 3)$ . Esto implica que hay un número entero $x$ tal que $n^2 + 3 = 4x$ . Reordenando obtenemos $n^2 = 4x − 3$ . Ahora bien, si evaluamos $n^4 − 3$ obtenemos

$$n^4=(n^2)^2-3$$ $$=(4x-3)^2-3$$ $$=(16x^2-24x+9)-3$$ $$2(8x^2-12x+3)$$ Observe que $8x^2 − 12x + 3$ es un número entero. Esto implica que $2|(n^4 − 3)$

Para demostrar el enunciado (a) podríamos abordarlo directamente o por contraposición. Ambas direcciones podrían resultar informativas por lo que aquí se presentarán ambas.

Directo : Supongamos que $2|(n^4 − 3)$ . Esto significa que hay algún número entero $y$ tal que $n^4 − 3 = 2y$ . Queremos demostrar algo sobre $n^2$ por lo que tendremos que (de alguna manera) reducir la potencia en $n$ . Para ello, observe que $n^4 = 2y+3 = 2(y+1)+1$ .

Desde $y + 1$ es un número entero, vemos que $n^4$ es impar.

Si $n^4$ es impar entonces $n^2$ es impar. Vemos que $n$ debe ser impar. Por lo tanto, hay un número entero $k$ tal que $n = 2k + 1$ .

Ahora podemos escribir $$n^2+3=(2k+1)^2+3$$ $$=4k^2+4k+1+3$$ $$=4(k^2+k+1)$$ Desde $k^2+k+1$ es un número entero, vemos que $4|(n^2+3)$

Answer 2

Si dividimos $n^2$ por $4$ podemos tener $0$ o, $1$ como resto. Ahora bien, obsérvese que, si podemos demostrar que $$4|2(n^4-3)-(n^2+3)\text{ or }4|2(n^4-3)+(n^2+3)$$ hemos terminado. Para impar $n$ , $4|(2n^4-n^2-9)=2n^4-n^2-1$ y para incluso $n$ tenemos $4|(2n^4+n^2-3)$ . Por lo tanto, $4$ divide $2(n^4+3)\big($ lo que significa $2$ divide $(n^4+3)\big)$ si $4$ divide $(n^2+3)$ .

Answer 3

Truco: Si $2|n^4 -3$ entonces $n$ es impar. Así que dejemos $n = 2r + 1$ entonces $n^2 +3 = (2r+1)^2 + 3 = 4r^2 + 4r + 1 + 3 = 4r^2 + 4r + 4 = 4(r^2 + r + 1)$ y $4|n^2 + 3$ .

Truco: Si $4|n^2 + 3$ entonces $n$ es impar. Así que si $n$ es impar entonces $n^4$ es impar y $n^4 -3$ está en paz. Así que $2|n^4 -3$ .

.....

En general, para demostrar $4|n^2 +3$ queremos asumir $n \equiv k \pmod 4$ y demostrar que $k^2 + 3\equiv 0\pmod 4$ .

Si $2|n^4 - 3$ entonces $k^4 \equiv 3\equiv 1 \pmod 2$ así que $k \equiv 1 \pmod 2$ y $k \equiv 1,3\pmod 4$ . Y $k^2 + 3 \equiv 1,9 + 3 \equiv 4,12 \equiv 0 \mod 4$ . Así que eso es $\implies$ .

Para demostrar $2|n^4 -3$ queremos asumir $n \equiv k \pmod 2$ y demostrar que $k^4 -3 \equiv 0 \pmod 2$ .

Si $4|n^2 +3$ entonces $n^2\equiv -3 \equiv 1 \pmod 4$ así que $n\equiv \pm 1 \pmod 4$ así que $n\equiv 1\pmod 2$ . Así que $n^4 -3 \equiv 1^4 -3 \equiv 0 \mod 2$ . Así que eso es $\Leftarrow$ .