¿Cómo encontrar el rango de $(\arcsin x)^2 + (\arccos x)^2$ sin usar derivados?

Question

Me esperaba encontrar el rango de la siguiente función:

<span class="math-container"> $$(\arcsin x) ^ 2 + (\arccos x) ^ 2$$ </span>

He añadido individualmente hasta el rango de <span class="math-container">$(\arcsin x)^2$</span> <span class="math-container">$(\arccos x)^2$</span>

¿Pero que dio una respuesta errónea?

¿Qué hacer con este problema?

Answer 1

Que <span class="math-container">$\arcsin x=y$</span>

<span class="math-container"> $$(\arcsin x)^2+(\arccos x)^2=y^2+\left(\dfrac\pi2-y\right)^2$$ </span>

<span class="math-container"> $$=2y^2+\dfrac{\pi^2}4-\pi y=2\left(y-\dfrac\pi4\right)^2+\dfrac{\pi^2}4-\dfrac{2\pi^2}{16}$$ </span>

<span class="math-container">$\left(y-\dfrac\pi4\right)^2\ge0$</span>

Otra vez <span class="math-container">$-\dfrac\pi2\le y\le\dfrac\pi2,-\dfrac\pi2-\dfrac\pi4\le y-\dfrac\pi4\le\dfrac\pi2-\dfrac\pi4$</span>

<span class="math-container">$\implies0\le\left(y-\dfrac\pi4\right)^2\le\left(-\dfrac\pi2-\dfrac\pi4\right)^2$</span>

Answer 2

La adición de los rangos que está mal: ¿qué acerca de la $g(x)=x^2+x$?

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Set $\tau=\pi/2$ por la simplicidad. A continuación, $\arccos x=\tau-\arcsin x$ y su función es $$2\arcsin^2x-2\tau\arcsin x+\tau^2$$ La gráfica de $f(X)=2X^2-2\tau X+\tau^2$ es una parábola convexa, de los cuales usted tiene que considerar sólo la parte con $-\tau\le X\le\tau$.

El eje de la parábola es $X=\tau/2$, por lo que la función es decreciente en $[-\tau,\tau/2]$ y aumentando en $[\tau/2,\tau]$. Desde $$\begin{align} F(-\tau)&=2\tau^2+2\tau^2+\tau^2=5\tau^2 \\[4px] F(\tau/2)&=\frac{\tau^2}{2}-\tau^2+\tau^2=\frac{\tau^2}{2} \\[4px] F(\tau)&=2\tau^2-2\tau^2+\tau^2=\tau^2, \end{align}$$ el rango es $$\left[\frac{\tau^2}{2},5\tau^2\right]=\left[\frac{\pi^2}{8},\frac{5\pi^2}{4}\right]$$

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Con el cálculo, si $f(x)=2\arcsin^2x-2\tau\arcsin x+\tau^2$, luego $$f'(x)=\frac{4\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{2\tau}{\sqrt{1-x^2}}= \frac{2(2\arcsin x-\tau)}{\sqrt{1-x^2}}$$ La derivada se desvanece donde $\arcsin x=\tau/2=\pi/4$, un mínimo local, en realidad mínimo absoluto. Nos encontramos exactamente los mismos puntos que antes, porque también tenemos que cuidar de los puntos donde se $f$ no es diferenciable, que es al $x=-1$ e $x=1$.

Answer 3

Permítanme escribir $f(x) = \arcsin^2 x + \arccos^2 x$. El dominio de la naturaleza de la $f$ es la intersección de los dominios naturales de $\arcsin$ e $\arccos$: $$\mathcal D(f) = \mathcal D(\arcsin) \cap \mathcal D(\arccos) = [-1,1]\cap [-1,1] = [-1,1].$$

A partir de la identidad $\sin x = \cos(\frac\pi 2 - x)$, se deduce que el $\arcsin x + \arccos x = \frac\pi 2$. Por lo tanto, tenemos $$f(x) = \arcsin^2 x + \arccos^2 x = \arcsin^2 x + (\frac\pi 2 - \arcsin x)^2 = 2\arcsin^2 x -\pi \arcsin x + \frac{\pi^2}4.$$

Definamos $g(x) = 2x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}4$. Podemos ver que $f(x) = g(\arcsin x)$. El rango de $f$ es así:

$$f([-1,1]) = g(\arcsin ([-1,1])) = g([-\frac\pi 2,\frac\pi 2]).$$

La gráfica de $g$ es una parábola. Para determinar el $g([-\frac\pi 2,\frac\pi 2])$, primero vamos a escribir $g(x) = 2(x-\frac\pi 4)^2+\frac{\pi^2}8$.

El mínimo de $g$ a $\mathbb R$ se produce en $x_0 = \frac\pi 4$ y es igual a $\frac{\pi^2}8$. Desde $x_0\in [-\frac\pi 2,\frac\pi 2]$, es también el mínimo de $g$ en el segmento de $[-\frac\pi 2,\frac\pi 2]$.

El máximo de $g$ a continuación, se produce en uno de los puntos de límite $\{\pm\frac\pi 2\}$. Calcular el $g(\frac\pi 2) = \frac{\pi^2}4$ e $g(-\frac\pi 2) = \frac{5\pi^2}4$. Desde $g(-\frac\pi 2)$ es mayor, que es el máximo de $g$ a $[-\frac\pi 2,\frac\pi 2]$.

Llegamos a la conclusión de que $g([-\frac\pi 2,\frac\pi 2]) = [\frac{\pi^2}8,\frac{5\pi^2}4]$ y que es el rango de $f$.

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Ayuda Visual. La línea roja es la gama de $\arcsin$ y la línea azul es el rango de $f$: