¿Qué es$SO(n+1)/O(n)$ como un espacio topológico?

Question

Considere la posibilidad de $SO(n),O(n)$ como grupos topológicos. Averiguar $SO(n+1)/O(n)$ como un espacio topológico.

Mi intento:

Observó la inclusión : $O(n) \hookrightarrow{} SO(n+1)$, $$A \mapsto\begin{bmatrix} det(A) &0 \\ 0 &A\end{bmatrix}$$ i.e. basically, $$A \mapsto\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &A\end{bmatrix} \text{ or } A \mapsto\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0 &A\end{bmatrix}$$

Ahora sabemos que $SO(n+1)$ actúa transitivamente sobre $S^n$ y por otra parte, $$SO(n+1)\text{ / }SO(n) \cong S^n \tag{*}.$$

Yo estaba tratando de imitar a la prueba de $(*)$, pero no podía continuar.

Intuitivamente, me parece que $SO(n+1) \text{ / } O(n) \cong \Bbb RP^n$ , pero realmente no tengo ninguna prueba ni nada,sólo la intuición.

Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Estás en lo correcto de que el cociente puede ser identificado con $\Bbb R \Bbb P^n$.

Sugerencia de La habitual acción de $SO(n + 1)$ a $\Bbb R^{n + 1}$ es transitiva y lineal, por lo que desciende a un transitiva de acción en el espacio $\Bbb R \Bbb P^n$ de líneas a través de la procedencia en $\Bbb R^{n + 1}$. Por lo tanto, si fijamos un elemento $\ell \in \Bbb R \Bbb P^n$, podemos identificar a $SO(n + 1) / H$, donde $H < SO(n + 1)$ es el estabilizador en $SO(n + 1)$ de $\ell$.

Si tomamos $\ell$ a ser el lapso $[e_0]$ de la primera norma base del elemento, $g \in SO(n + 1)$ corrige $\ell$ fib tiene la forma $$\pmatrix{\ast & \ast \\ 0 & \ast},$$ and the condition $g \en(n + 1)$ implies that any such $g$ has the form $$\pmatrix{\det A & 0 \\ 0 & A}, \qquad A \in O(n); $$ conversely, any matrix of that form is in $H$.