La relación entre irreducibles y primos

Question

¿Estoy en lo correcto al pensar que la definición convencional de un número primo (solo puede ser escrito como él mismo multiplicado por $1$ y no tiene otros factores) en realidad es la definición de irreducible?

¿Es cierto que esto se da porque primo e irreducible son equivalentes en un anillo y la definición anterior es mucho más fácil que explicar que un número $p$ es primo si y solo si "$p$ divide a $ab$" implica que o bien "$p$ divide a $a$" o bien "$p$ divide a $b$".

¿Por qué son estas equivalentes?

¿Existen ejemplos simples de números que son o bien primos o bien irreducibles pero no ambos?

Answer 1

El conjunto de enteros es un Dominio de Factorización Única, es decir, cada elemento se puede factorizar de forma única. En un UFD, un elemento no unidad es primo si y solo si es irreducible. Así que en $\mathbb{Z}$, no hay contraejemplo.

En $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, que es un conjunto de elementos de la forma $a+b\sqrt{-5}$ donde $a$ y $b$ son enteros, $9$ se puede escribir en dos formas, $$ 9=3^2 = (2-\sqrt{-5})(2+\sqrt{-5}) $$ y $3$ divide a $(2-\sqrt{-5})(2+\sqrt{-5})$ pero no divide ni a $2-\sqrt{-5}$ ni a $2+\sqrt{-5}$. Así que $3$ no es primo aquí. También se puede ver que $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no es un UFD. Sin embargo, es un elemento irreducible. Esto se puede demostrar resolviendo la siguiente ecuación $$ 3=(a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5}) $$ para enteros $a,b,c$ y $d$. Un cálculo largo y poco interesante mostrará que $b=d=0$ y que cualquiera de $a$ y $c$ es $1$, y el otro es $3$.

Por el contrario, en un dominio integral $R$, ser primo siempre implica que es un elemento irreducible. Supongamos que un primo $p$ es reducible, así que existen dos elementos no unidad $a,b$ tales que $p=ab$. Dado que $p$ divide a $ab=p$, por la definición de primalidad, $p$ debe dividir a $a$ o a $b$. Podemos suponer que $p$ divide a $a$, y existe un $c\in R$ tal que $pc=a$. Entonces $$ p=ab=pcb \implies cb=1 $$ así que contradice que $b$ sea no unidad. La cancelación funciona porque estamos trabajando en el dominio integral.

Answer 2

Estás bastante en lo correcto: En un anillo conmutativo general $R$, la propiedad \begin{align*} p = ab \Rightarrow a \in R^* \vee b \in R^* \end{align*}

se llama irreductibilidad. La primalidad, por otro lado, es la propiedad

\begin{align*} p\mid ab \Rightarrow p\mid a \vee p \mid b. \end{align*}

Si $R$ es un UFD (por ejemplo, $R = \mathbb{Z}$), un elemento tiene una de estas dos propiedades si y solo si tiene la otra, por lo que las dos nociones coinciden. Por lo tanto, un elemento primo en $\mathbb{Z}$ se puede definir como un número que es irreducible.

Pero: La primalidad y la irreductibilidad no son, en general, lo mismo: Mientras que los números primos siempre son irreducibles en dominios integrales, el número $3 \in \mathbb{Z} \hspace{-0.1cm} \left[ \sqrt{-5} \right]$ es un ejemplo de un elemento irreducible que no es primo.

Answer 3

Las definiciones son equivalentes en un dominio de factorización única como $\mathbb Z$. En un no-UFD, todavía hay un conjunto de números primos y un conjunto de números irreducibles, pero no se superponen completamente.

Por ejemplo, $-37$ no es divisible por ningún número en $\mathbb Z$ más cercano a 0 que a sí mismo, aparte de $-1$ y 1. Por lo tanto, es irreducible en $\mathbb Z$. Pero también es primo, porque en cualquier producto $ab$ que sea divisible por $-37$, encontraremos que ya sea $a$ o $b$ es un múltiplo de $-37$, o quizás ambos lo sean.

Comparemos con $74$. Eso obviamente no es primo, y tampoco es irreducible, es reducible. Vemos que $74 \mid 148$, pero si expresamos 148 como $-4 \times -37$, vemos que 74 no divide ni a $a$ ni a $b$.

Ahora echemos un vistazo a un dominio integral como $\mathbb Z[\sqrt{-70}]$. En ese dominio, $-37$ sigue siendo irreducible, porque no es divisible por ningún número más cercano a 0 que $-1$ y 1.

Pero ahora vemos que $-37 \mid (2 - \sqrt{-70})(2 + \sqrt{-70})$, sin embargo ni $2 - \sqrt{-70}$ ni $2 + \sqrt{-70}$ es divisible por $-37$. Números como 3 y 13 siguen siendo irreducibles y primos en $\mathbb Z[\sqrt{-70}]$, sin embargo.

En cuanto a un número que es primo pero no es irreducible, consideremos $\mathbb Z_6$, que consiste solamente de 0, 1, 2, 3, 4, 5 (la suma y la multiplicación "se envuelven" para mantener las cosas dentro del anillo). Verifiquemos que $$3 = 3^2 = 3^3 = 3^4 = \ldots = 3 \times 5 = 3 \times 5^2 = \ldots$$ pero también que la única forma de obtener 3 como producto en este anillo es incluir 3 al menos una vez como factor.

P.D. Elegí $\mathbb Z[\sqrt{-70}]$ en lugar de $\mathbb Z[\sqrt{78}]$ porque aunque tenemos que lidiar con números complejos, las cosas de cierta manera son mucho más simples.

Answer 4

En un anillo en general, las definiciones no son iguales; ser primo es más bien la propiedad más fuerte, esto es literalmente cierto cuando no hay divisores de cero. (Tenga en cuenta que la definición de irreducible necesita modificarse un poco para tener en cuenta los elementos invertibles distintos de $1$.)

Considere, por ejemplo, el anillo de polinomios sin término lineal, es decir, polinomios de la forma:

$$a_0 + a_2X^2 + a_3X^3 + \dots + a_nX^n$$

En esta estructura, $X^2$ es irreducible, pero no primo ya que $X^2$ divide a $X^3 \times X^3$ pero no a $X^3$.

Sin embargo, las definiciones son equivalentes en un dominio de ideales principales o más generalmente en un dominio de factorización única, o en estructuras aún más generales.

Dado que los enteros son un dominio de ese tipo, las definiciones son equivalentes en ese contexto.

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También se pueden construir ejemplos en los enteros restringiéndose a subsemigrupos. Por ejemplo, si considera solo los enteros positivos cuya expansión en dígitos decimales termina en $1$, entonces esto es un subsemigrupo multiplicativo con identidad.

En esa estructura, $21$ es irreducible, pero no primo: $21$ divide a $81 \times 2401$, siendo los números a la derecha $3^4$ y $7^4$ respectivamente.

Answer 5

En un dominio, cada número primo es irreducible. Un ejemplo estándar de que la conversa no siempre se cumple es $$3 \cdot 3 = 9 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$$ en el anillo $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. Entonces $3$ y $2\pm\sqrt{-5}$ son irreducibles pero no primos.