Hay tres luces que pueden ser en uno de tres Estados. ¿Podemos obtener el sistema de luces en un estado específico?

Question

Si hay alguien que puede venir para arriba con un mejor título para este por favor edita el título.

Hay tres luces en una línea. Cada luz puede estar en uno de tres estados: apagado, rojo claro y rojo oscuro. Hay un ciclo de estados: APAGADO, la LUZ ROJA, de un ROJO OSCURO, y luego de vuelta a OFF.

Hay tres interruptores que controlan las luces así:

Interruptor - los avances en el ciclo de las dos primeras luces Interruptor B - los avances en el ciclo de las tres luces Interruptor C - los avances en el ciclo de los últimos dos luces.

Si empezamos con las tres luces en el estado de los interruptores pueden ser empujado en un poco de orden para que las tres luces en la línea son: APAGADO-LUZ ROJA-ROJO OSCURO?

Estoy tratando de modelo de este con el álgebra lineal. Donde a,B,C son las luces de una fila y la empujamos Un tiempo x, B, y tiempos, y C z veces. Por supuesto, los números son mod 3 porque después de 3 empuja a terminar de nuevo en el estado off.

Alguna sugerencia?

Answer 1

Tenga en cuenta que podemos pasar de la primera, segunda y tercera luz de forma independiente, por lo que cualquier estado se puede llegar a:

1. Conmutación $A$ dos veces y, a continuación, $B$ es el mismo como el cambio de la última luz.
2. Conmutación $C$ dos veces y, a continuación, $B$ es lo mismo que encender la primera luz.
3. Conmutación $A$ una vez, conmutación $C$ una vez y conmutación $B$ dos veces es el mismo como el cambio del medio de la luz.

Answer 2

Podemos representar los Estados de las luces con <span class="math-container">$0=Off, 1=Light Red, 2=Dark Red$</span>. Entonces queremos <span class="math-container">$$x+y\equiv 0\ x+y+z\equiv 1\y+z\equiv 2$ $</span> donde las equivalencias son <span class="math-container">$\mod 3$</span> las dos primeras nos dicen <span class="math-container">$z=1$</span>. Los dos últimos nos dicen <span class="math-container">$x=2$</span>. Luego de los primeros <span class="math-container">$y=1$</span>. Para que lo utilice dos veces y los otros una vez.

Answer 3

Se puede considerar que las acciones de los interruptores como el conjunto de vectores en un espacio de tres dimensiones de espacio vectorial sobre el campo finito {0,1,2}, con base (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Usted tiene interruptores: $$ \begin{align} a&=(1,1,0) \\ b&=(1,1,1) \\c&=(0,1,1) \end{align} $$

Debido a ${a,b,c}$ son linealmente independientes, se genera una imagen tridimensional de espacio vectorial, el cual debe contener cada estado posible, y de hecho tiene:

$$\begin{align} (1,0,0) &= b - c &= b + 2c \\ (0,1,0) &= a - b + c &= a + 2b + c \\ (0,0,1) &= -a + b &= 2a + b \end{align} $$ así $$ (0,1,2) = a + 2b + c + 2(2a + b) = 2a + b + c $$