Puente de Random mano w tarjetas de exactamente dos trajes

Question

Pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de que un azar del puente de mano contiene tarjetas de exactamente dos trajes?

Mi Intento Por Llegar A Una Solución Puente manos consisten $13$ tarjetas, y un traje contiene $52$ tarjetas, por lo que la manera de escoger una al azar puente de la mano sería $$\frac{{26\choose 13}-2}{{52 \choose 13}} $$

Como usuario @Lord Shark el Desconocido dejó entrever: hay $26\choose 13$ formas de elegir las manos de los dos juegos pero uno de esos trajes es decir corazones, y otro sólo picas, por lo que debemos compensar aquellos.

Gracias por las correcciones/sugerencias.

Answer 1

El número total de manos es $$\binom{52}{13}$$

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Ahora contamos el número de manos con cartas de exactamente dos trajes.

Hay $$\binom{4}{2}$$ de las formas para elegir de los dos juegos.

Dado esto, hay $$\binom{26}{13}$$ de las formas para elegir las cartas en la mano.

Sin embargo, hemos contado a cuatro manos que no deberíamos contar: las cuatro manos que tiene todas las cartas del mismo palo (por ejemplo, todas las $13$ picas).

Para cada uno de estos $4$ manos, hemos contado con ellos $3$ veces. Por ejemplo, $13$ picas y $0$ corazones se cuenta, pero así es $13$ picas y $0$ clubes, y $13$ picas y $0$ diamantes. El número de manos que hemos overcounted es, por tanto,$$4\cdot 3$$

Esto significa que el número total de manos con cartas de exactamente dos trajes es

$$\binom{4}{2}\binom{26}{13} - 4\cdot 3$$

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La probabilidad de que usted desea es que el número de posibilidades de éxito, dividido por el número total de posibilidades:

$$\boxed{\,\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{4}{2}\displaystyle\binom{26}{13} - 4\cdot 3}{\displaystyle\binom{52}{13}}\,\,}$$