¿Por qué $\int_0^{n\pi}\frac{dx}{1+\tan^{2k}(x)}=n\frac\pi2$ se mantienen para todos los enteros no negativos $k$ ?

Question

Pensé en poner $t=\tan x, x=\arctan t, dx=\frac{dt}{1+t^2}$ pero entonces obtengo erróneamente $$\int_{tan(0)}^{\tan(n\pi)}\frac{dt}{(1+t^2)(1+t^{2k})}$$ que es $0$

Creo que debería escribir la integral como $\int_0^\pi(\cdot)+\int_\pi^{2\pi}(\cdot)+\cdots+\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}(\cdot)$ y luego ver que cada uno es $\pi/2$

Answer 1

$$\int_0^{n\pi}\frac{dx}{1+\tan^{2k}x}$$ El integrando es periódico con periodo $\pi$ y simétrica dentro de un período de aproximadamente $\pi/2$ : $$=2n\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\tan^{2k}x}$$ Intercambiar los límites de la integral. El integrando se evalúa entonces como $\frac{\tan^{2k}}{1+\tan^{2k}x}$ por $\tan(\pi/2-x)=\cot x$ . La suma de las dos integradas es 1: $$=\frac{2n}2\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{n\pi}2$$

Answer 2

En $$I(n)=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}f(\tan x)dx,$$

poner $y=x-(n-1)\pi,\implies dy=dx$

$$I(n)=\int_0^\pi f(\tan y)\ dy=I(1)$$

Para los enteros $n\ge1,$ $$\implies\int_0^{n\pi}f(\tan x)\ dx=\sum_{r=0}^{n-1}\int_{r\pi}^{(r+1)\pi}f(\tan x)\ dx=n\int_0^{\pi}f(\tan x)\ dx$$

Ahora bien, si $f(\tan x)=g(\tan^2x),$

$$\int_0^{\pi}f(\tan x)\ dx=\int_0^{\pi}g(\tan^2x)\ dx=\int_0^{\pi/2}g(\tan^2x)\ dx+\int_{\pi/2}^{\pi}g(\tan^2x)\ dx$$

Poner $u=x-\pi$ en la última integral para encontrar

$$\int_0^{\pi}f(\tan x)\ dx=\int_0^{\pi/2}g(\tan^2x)\ dx+\int_{-\pi/2}^0g(\tan^2x)\ dx$$

Ahora usa Evaluar la integral $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^3x}{\sin^3x+\cos^3x}\,\mathrm dx$ . para ambas integrales si

ambas integrales son de la forma $$\int_a^b\dfrac{u(x)}{u(x)+g(a+b-x)}\ dx$$