Tal vez lo que busca son "teoremas de clasificación", es decir, teoremas que tienen el siguiente formato: Si $G,H$ son dos grupos finitos que tienen la propiedad $P$ entonces $G$ es isomorfo a $H$ si y sólo si $G$ y $H$ tienen las mismas propiedades $Q_1,...,Q_n$ .
Por ejemplo, la clasificación de los grupos cíclicos finitos dice que si $G$ y $H$ son dos grupos cíclicos finitos, entonces $G$ es isomorfo a $H$ si y sólo si $G$ y $H$ tienen el mismo orden. Así que si sabes que los dos grupos son cíclicos, todo lo que tienes que hacer es contar cuántos elementos tienen para determinar si son isomorfos.
El siguiente paso es la clasificación de los grupos abelianos finitos. Primero se demuestra un teorema: para todo grupo abeliano finito $G$ existe una descomposición de suma directa de la forma $G = G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots G_K$ de manera que cada $G_i$ es un grupo cíclico finito de cierto orden $d_i$ y tal que la secuencia de órdenes de grupos está linealmente ordenada por la divisibilidad: $d_1$ divide $d_2$ que divide $d_3$ que divide... que divide $d_K$ . Hay una palabra para esta secuencia $d_i$ que no conozco, así que lo llamaré temporalmente "secuencia divisora" del grupo $G$ . El teorema de clasificación dice que si $G$ y $H$ son grupos abelianos finitos, entonces $G$ es isomorfo a $H$ si y sólo si tienen exactamente la misma secuencia de divisores.
Hay muchos ejemplos de teoremas como éste, cada vez más potentes, que se aplican a clases cada vez más generales de grupos finitos. Son cada vez más difíciles de demostrar, a medida que la clase se vuelve más y más general.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que hay una realidad importante oculta en las pruebas: cuando se rastrea la prueba de la existencia de un isomorfismo entre dos grupos finitos, se casi siempre encontrará la construcción de un isomorfismo. (En la teoría de grupos finitos, dudo que haya una sola excepción a esta regla. En la teoría de grupos infinitos, probablemente hay muchas excepciones en las que la prueba de la existencia de un isomorfismo conduce en cambio a algún axioma de existencia como el axioma de elección).
