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Ejemplo de una prueba de la irracionalidad concreta

Puede dar algunos ejemplo de un número irracional que puede ser demostrado ser irracional con este teorema?

Teorema. Dado $a\in \mathbb{R}$, si existe una secuencia de enteros $u_n,v_n \rightarrow \infty$ tal forma que:

  • $a$ no es igual a ninguno $u_n/v_n$.
  • El quotien secuencias aproximates $a$ en este sentido: $$\lim_{n\rightarrow \infty}v_na-u_n=0 $$

a continuación, el número de $a$ es irracional.

La prueba está en: https://math.stackexchange.com/q/898420

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Greg Case Puntos 10300

En primer lugar, hay algunos buenos ejemplos como $$ e=\sum_{n\ge0}\frac1{n!} $$ or Liouville-like numbers, mentioned in the answers by Wilem2, that can be easily proved to be irrational using the theorem, but for which typically there are simpler irrationality proofs: For $e$, we quickly get that $$0<n!\bigl(e-\sum_{k\le n}\frac1{k!}\bigr)<1$$ for all large enough $n$, so $e$ cannot be rational, because otherwise for $$ n lo suficientemente grande como la número entre 0 y 1 es un entero. Para Liouville-como los números, los muchos 0s entre consecutivos 1s fácilmente implica que el número no tiene un decimal periódico expansión, por lo que debe ser irracional.


Ahora, uno puede demostrar que, dado cualquier irracional $r\in\mathbb R$ hay una secuencia como en el teorema de la convergencia a la $r$. Esto no es bastante obvio. En lugar de eso, me voy a referir a la teoría de fracciones continuas. Los dos puntos son que si $|r-p/q|<1/q^2$ entonces $|qr-p|<1/q$ (por lo tanto, si $q\to\infty$, a continuación, $|qr-p|\to0$) y que para cualquiera de los dos consecutivos convergents a $r$, de hecho, uno satisface $0<r-p/q<1/q^2$. El convergents a $r$ son los números racionales, que se obtiene por recorrer en el siguiente procedimiento recursivo:

Empezar con $r$ irracional, vamos a $r_0=\lfloor r\rfloor$. Tenga en cuenta que $0<r-r_0<1$, por lo que es $1/x$ para algunos $x>1$, y podemos repetir el mismo procedimiento con $x$ en lugar de $r$ y para obtener el $r_1\in\mathbb N$ e $y>1$ tal que $x=r_1+1/y$. Por ejemplo, si $r=\sqrt2$, consigue $r=1+(\sqrt2-1)=1+\frac1x$, donde $x=\frac1{\sqrt2-1}=\sqrt2+1=2+\frac1x$, lo $$ \sqrt2=1+\frac1{2+\frac1{2+\frac1\ddots}}, $$ y el convergents a $\sqrt2$ son racionales que aparecen a lo largo del camino, parando el procedimiento después de un número finito de veces, es decir, la secuencia de $$ 1, 1+\frac12=\frac32,1+\frac1{2+\frac12}=\frac75,1+\frac1{2+\frac1{2+\frac12}}=\frac{17}{12},\dots$$

En general, si $p_0/q_0,p_1/q_1,\dots$ son los convergents a $r$, $(p_n,q_n)=1$ para todos los $n$ y $$ p_0/q_0<p_2/q_2<\dots<r<\dots<p_3/q_3<p_1/q_1, $$ so $p_0/q_0,p_2/q_2,\dots$ provides a sequence as desired (one can easily check just from the inequalities that $q_n\to\infty$).

Dicho esto, es tal vez un poco insatisfactorio para el uso de fracciones continuas para ilustrar el teorema, porque, por supuesto, si $r$ tiene una secuencia infinita de convergents, entonces es irracional (por el algoritmo de Euclides!), así que ya sabemos $r$ es irracional antes de que incluso la exposición de la secuencia correspondiente. Dicho esto, en ciertos casos, no son agradables recursiva de relaciones que nos permiten encontrar $p_{n+2},q_{n+2}$ en términos de $p_n,p_{n+1},q_n,q_{n+1}$, por lo que fácilmente podemos exhibir secuencias como en el teorema, así testigos de la irracionalidad de muchos a$r$. (Por supuesto, para algunos $r$, no es agradable recursiva forma de obtención de dichas secuencias a menos que tengamos acceso a $r$ , para empezar.)

De hecho, por ejemplo, para $\sqrt2$, tenemos $p_0=1=q_0$, $p_1=3,q_1=2$ y, en general, $p_{n+2}=2p_{n+1}+p_n$ e $q_{n+2}=2q_{n+1}+q_n$.

En general, para un determinado $r$, en lugar de utilizar siempre los $2$, utilizamos $r_{n+2}$, donde los enteros $r_0,r_1,r_2,\dots$ son las partes enteras obtenidos a través del procedimiento descrito arriba. Para muchos irrationals $r$ no parece ser una buena fórmula para estos números, $r_n$. Pero no son agradables fórmulas para $e$ y para cualquier cuadrática irracional.
(En realidad, es un interesante problema abierto si hay buena patrones para, decir $\root3\of2$ o $\pi$.)

1voto

Wilem2 Puntos 178

Vamos a la prueba de que $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ es irracional con este método:

Definir $v_n=n!$ e $u_n=n!(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})$

Es directo ver que $u_n$ es un número entero, debido a la expansión del producto, cada término es un número entero:

$u_n=(n!+\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{3!}+...+\frac{n!}{n!})$

Y también, $u_n$ tiende a infinito causa cada término es positivo y el primer término es $n!$

Vamos a la prueba de la satements del teorema:

Claramente, $e\neq\frac{u_n}{v_n}$ porque $(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}+...)\neq(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})$

Y para la segunda instrucción:

$x_n=v_ne-u_n=n!(\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!})-n!(\sum_{i=0}^n \frac{1}{i!})=n!(\sum_{i=n+1}^\infty \frac{1}{i!})=\sum_{i=n+1}^\infty \frac{n!}{i!}>0$

Ahora, cada término de la serie es limitada por

$\frac{n!}{i!}=\frac{1}{(n+1)(n+2)\cdot...\cdot(n+(i-n))}<\frac{1}{(n+1)^{i-n}}$

y por lo $x_n=\sum_{i=n+1}^\infty \frac{n!}{i!}\leq\sum_{i=n+1}^\infty\frac{1}{(n+1)^{i-n}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{k}}=\frac{1}{n+1}(\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}})=\frac{1}{n}\rightarrow 0$

Así que podemos aplicar el teorema a la conclusión de que la $e$ es irracional.

1voto

Wilem2 Puntos 178

Con la idea de @AndrésE.Caicedo, voy a tratar de prueba de la irracionalidad de la Liouville Constante:

$L=\sum_{n=1}^{\infty}10^{-n!}=0.11000100000000000000000100000000000000000...$

Con $v_n=10^{n!}$ e $u_n=10^{n!}\sum_{i=1}^{n}10^{-i!}$.

Claramente, $v_n$ es un número entero que tiende a infinito.

Para $u_n$, tenga en cuenta que $u_n=\sum_{i=1}^{n}10^{n!-i!}$ y el poder $n!-i!$ es una enteros satisfacer $n!-i!\geq 0$ para $i\leq n$, por lo que cada término de la serie es un número entero y también, $u_n$ tiende a infinito causada por el líder plazo $10^{n!-1}\rightarrow \infty$.

Para comprobar la hipótesis:

  • $L \neq\frac{u_n}{v_n}$ porque $L$ tiene más términos de la serie: $L=\sum_{i=1}^{\infty}10^{-i!}\neq \sum_{i=1}^{n}10^{-i!}=\frac{u_n}{v_n}$
  • $x_n=v_nL-u_n=...=\sum_{i=n+1}^{\infty}10^{n!-i!}$. No puede ser difícil prueba de que esta última serie es $$\sum_{i=n+1}^{\infty}10^{n!-i!} <2\cdot 10^{n!-(n+1)!}=2\cdot 10^{-n\cdot n!}\rightarrow 0$$ Pero porque no tengo el argumento, aquí es otro:

Para $i>n$ uno $n!-i!\leq (i-1)!-i!\,=\, -(i-1)\cdot(i-1)! \leq -(i-1)$

Por lo $n!-i! \leq -(i-1)$ y por tanto: $$x_n=\sum_{i=n+1}^{\infty}10^{n!-i!}\leq \sum_{i=n+1}^{\infty}10^{-(i-1)}=\frac{1}{10^n}\sum_{i=0}^{\infty}10^{-i}=\frac{1}{10^n}\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{10^n}\frac{10}{9}\longrightarrow_{n \rightarrow\infty} 0$$

Por el teorema de, L es irracional.

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