Resolución de un sistema de EDO con un problema de valor inicial (PIV)

Question

Tengo una pregunta sobre un sistema de EDO. Si tenemos:

$\frac{dx}{dt}=x+2y$

$\frac{dy}{dt}=3x+2y$

con $x(0)=6$ y $y(0)=4$ ,

cómo es que la solución al IVP es:

$x(t)=4e^{4t}+2e^{-t}$

$y(t)=6e^{4t}-2e^{-t}$

Intenté hacer integral separando la variable pero no conseguí esa solución. Ese ejemplo y la solución son de mi libro de método numérico, por favor vea la imagen adjunta

ejemplo y solución

Answer 1

Tomar la transformada de laplace en ambos lados de ambas ecuaciones diferenciales para obtener

$(s-1)X(s)=2Y(s)+6 \ \ $ ;

$(s-2)Y(s)=3X(s)+4\\$ respectivamente

resolver $X(s)$ y $Y(s)$ como ecuaciones algebraicas para dar ;

$Y(s)=\dfrac{4s+14}{(s+1)(s-4)}\implies y(t)=-2e^{-t}+6e^{4t}$

$X(s)=\dfrac{6s-4}{(s+1)(s-4)}\implies x(t)=2e^{-t}+4e^{4t}$

Answer 2

Sugerencia: Con $$y=\frac{x'-x}{2}$$ obtenemos $$y'=3x+\frac{3}{2}(x'-x)$$ y obtenemos $$y'=\frac{x''-x'}{2}$$ por lo que obtenemos $$\frac{x''-x'}{2}=3x+\frac{3}{2}(x'-x)$$ ¿Puedes terminar? Desde aquí obtendrás $$x''-4x'-3x=0$$ hacer el ansatz $$x=e^{\lambda t}$$

Answer 3

Pista:

Una posibilidad es eliminar una de las incógnitas.

$$x'=x+2y\implies x''=x'+2y'$$ y $$y'=3x+2y=3x+(x'-x),$$

de ahí

$$x''-3x'-4x=0.$$

Answer 4

Consideremos su sistema de EDO: $$\frac{dx}{dt}=x+2y\\\frac{dy}{dt}=3x+2y$$ De ello se deduce que $$\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=4x+4y\rightarrow \frac{d(x+y)}{dt}=4(x+y)\rightarrow \frac{d(x+y)}{x+y}=4dt$$ La integración a ambos lados da como resultado $$\ln(x+y)=4t+C\rightarrow x+y=Ce^{4t}\rightarrow y=Ce^{4t}-x$$ Sustitución en $\frac{dx}{dt}$ da $$\frac{dx}{dt}=x+2(Ce^{4t}-x)\rightarrow \frac{dx}{dt}+x=2Ce^{4t}$$ Multiplicar por $e^t$ en ambos lados: $$\frac{dx}{dt}e^{t}+xe^{t}=2Ce^{5t}\rightarrow\frac{d(xe^{t})}{dt}=2Ce^{5t}$$ La integración a ambos lados da como resultado $$xe^{t}=\frac{2C}{5}e^{5t}+K\rightarrow x=\frac{2C}{5}e^{4t}+Ke^{-t}$$ Sustitución en $y$ da $$y=\frac{3C}{5}e^{4t}-Ke^{-t}$$ Aplicar condiciones: $$x(0)+y(0)=6+4=10\rightarrow Ce^{4(0)}=10\rightarrow C=10\\x(0)=6\rightarrow \frac{2(10)}{5}e^{4(0)}+Ke^{-(0)}=6\rightarrow K=2$$ Así, $$x(t)=4e^{4t}+2e^{-t}\\y(t)=6e^{4t}-2e^{-t}$$

Answer 5

Observe que tiene $$ \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} \text{.} $$ Los valores propios de esta matriz son $4, -1$ por lo que ambas soluciones son de la forma $a \mathrm{e}^{4x} + b \mathrm{e}^{-1x}$ . Como otros han demostrado, a continuación se ajustan los coeficientes a los datos del valor inicial.