¿Es cierto, que cada morfismo en un producto es una contracción?

Question

La definición del producto, en Lang, Álgebra (página 58) es este:

Deje $(P,f,g)$ ser un producto de la $A$ e $B$. Vamos a ser $C=A$ e $\varphi=id_A$. Entonces, por definición, no es un (único) $h:A\to P$ morfismos así, que $id_A=f\circ h$, es decir, $h$ es un derecho inversa de a$f$, es decir, $f$ es una retracción. La similar se tiene para $g$.

Es esto una prueba de la correcta? Estoy bastante seguro de que sí, pero estoy un poco sorprendido de que yo no encuentro esta declaración en cualquier lugar. Por eso necesito una confirmación.

Answer 1

Casi.

Sólo funciona si en efecto existe un flecha <span class="math-container">$A\to B$</span> .

Si por ejemplo estamos trabajando en la categoría de conjuntos con <span class="math-container">$B=\varnothing$</span> y <span class="math-container">$A\neq\varnothing$</span> entonces esto no es el caso y también <span class="math-container">$P=A\times B=\varnothing$</span>.

En ese caso <span class="math-container">$f:P=\varnothing\to A\neq\varnothing$</span> no tiene ningún derecho-inversa.

Answer 2

Que le parece bien, siempre hay flechas $A \to B$, debido a la existencia de $h$ será garantizada, siempre que se dé morphims $C \to A$ e $C \to B$, en cuyo caso $\phi = fh$ e $\psi = gh$ debería existir.

Si usted tiene alguna flecha $a : A \to B$ entonces $(id_A,a)$ factores a través de $P$ a través de algunos únicas $h$ como usted ha dicho.

Como drhab ha dicho en su respuesta, hay algo elemental ejemplos en los que esto no funciona ya. Yo sé poco de la categoría de teoría, pero tal vez el más interesante de los ejemplos puede ser fabricada de bien conocidos los objetos con flechas entre ellos.