¿Cómo va a converger la secuencia$x_{n+1} = \frac{(x_n)^{2} + 5}{ 6}$ a 1

Question

Tener algunos problemas para entender que si $x_{1} = 4$ y la secuencia donde n se define como $x_{n+1} = \frac{(x_n)^{2} + 5}{ 6}$, ¿cómo va a converger a 1?

He resuelto el uso de la L como límite y el uso de la cuadrática obtengo dos posibilidades que son 5 o 1.

Answer 1

Por inducción, $1< x_n\le 4$ para todos los $n$. De hecho, esto es cierto para $n=1$, y si $1< x_n\le 4$, a continuación, $1< x_n^2\le 16$ e lo $x_{n+1}=\frac{x_n^2+5}{6}$ es $> \frac{1+5}6=1$ e $\le \frac{16+5}6<4$.

Con estos límites en mente, hemos $$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n^2-6x_n+5}6=\frac{(x_n-1)(x_n-5)}6<0$$ debido a que el primer factor en el numerador es positivo y el segundo negativo.

Por lo $\{x_n\}_n$ es limitado y estrictamente decreciente, por lo tanto convergente. Usted ya se enteró de que la única manera posible de límites se $1$ e $5$. Sin embargo, $5$ puede ser excluida de acuerdo con las observaciones anteriores.

Answer 2

Puede que la razón de la siguiente manera:

• Set $f(x) = \frac{x^2+5}{6}$.
• $\Rightarrow f(1) = 1, f(5) = 5$ y para cualquier $a \in (1,5)$ ha $f(a) \in (1,5)$.
• $f''(x) = \frac{1}{3} > 0$, lo $f$ es estrictamente convexa.
• $\Rightarrow$ la secante a través de $(1,1)$ e $(5,5)$ se encuentra por encima de la gráfica de $f$: $$f(a) < a \mbox{ for any } a \in (1,5) \Rightarrow (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \mbox{ is decreasing.}$$ Se desprende de su cálculo que $L=1$ debe ser el límite (y no puede ser $5$).

Answer 3

Desde $$ x_{n+1}=\frac{x_n^2+5}6\tag1 $$ tenemos $$ x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{x_{n+1}^2-x_n^2}6=(x_{n+1}-x_n)\,\frac{x_{n+1}+x_n}6\tag2 $$ Esta es una contracción cuando se $\left|\frac{x_{n+1}+x_n}6\right|\lt1$. Que es. $$ -1\lt\frac{(x_n+3)^2-4}{36}\lt1\tag3 $$ La desigualdad de $(3)$ está satisfecho cuando $$ -3-2\sqrt{10}\lt x_n\lt-3+2\sqrt{10}\tag4 $$ $x_1=4$ está fuera del rango especificado en $(4)$.