Probar que la cantidad es un número entero.

Question

Quiero demostrar que la $\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \in \mathbb{Z}, \forall n \geq 1$.

He pensado en el uso de la inducción.

Caso Base: Para $n=1$, $\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=0 \in \mathbb{Z}$.

Inducción de la hipótesis: supongamos que para $n=k$, es decir, que $\frac{k^3}{3}-\frac{k^2}{2}+\frac{k}{6} \in \mathbb{Z}$.

Inducción paso: queremos mostrar que para $n=k+1$.

$$\frac{(k+1)^3}{3}-\frac{(k+1)^2}{2}+\frac{k+1}{6}=\frac{k^3}{3}+\frac{k^2}{2}+\frac{k}{6}$$

Está todo bien? Si es así, entonces no podemos utilizar en el paso de inducción la inducción, hipótesis, podemos?

O podemos no obtener el resultado deseado mediante la inducción?

Answer 1

Si podemos. Si $f(n)=\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$ , entonces $f(n+1)-f(n)=n^2$ .

Answer 2

Si desea utilizar la inducción desea mostrar que $$\frac{(k+1)^3}{3}-\frac{(k+1)^2}{2}+\frac{k+1}{6}$$ is an integer. You can expand all the terms and use the known fact about the expression for $k$ para llegar allí.

Otro enfoque es la nota que $6$ es un denominador común y dicen que quieren demostrar que el numerador $2k^3-3k^2+k$ es divisible por $6$. Pero $2k^3-3k^2+k=(2k-1)(k-1)k$ y uno de $k$ o $k-1$ es regular y uno de los términos es un múltiplo de a$3$.

Answer 3

Si pones todo sobre un denominador común, obtienes $$f(n)=\frac {2n^3-3n^2+n}6=\frac {n(n-1)(2n-1)}6$ $

Creo que ahora es más fácil ver lo que sucede para una inducción directa, o puede escribir $2n-1=2n-4+3$ y dividir en diferentes fracciones, a saber, $$f(n)=\frac {n(n-1)(2n-4+3)}6=\frac {n(n-1)(n-2)}3+\frac {n(n-1)}2$$ and this is easily the sum of two integers since the product of $ r$ successive integers is divisible by $ r$ (easily proved by induction), or you can do the induction on $ n$ based on this form of $ f (n) $ , que debería funcionar fácilmente.

Answer 4

Para demostrar $$\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \in \mathbb{Z}, \forall n \geq 1$$

Tomamos común denominador y probar el numerador es múltiplo de $6.$

El numerador factores como $$n(2n-1)(n-1)$$

Uno de $n$ o $n-1$ es incluso por lo que el producto es múltiplo de $2$

El resto de n en la división por $3$ es $0$ o $1$ o $2$

En cualquiera de estos casos, el producto $$n(2n-1)(n-1)$$ is divisible by $3$
Por lo tanto el numerador es siempre un múltiplo de $6$ lo que hace que la fracción de un número entero.

Answer 5

Un enfoque diferente:

Tenga en cuenta que \begin{align} \frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} &= \underbrace{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}_{\displaystyle=\sum_{k=1}^n k^2 }-2\,\underbrace{\frac{n(n+1)}{2}}_{\displaystyle=\sum_{k=1}^{n}k}+n=\sum_{k=1}^n(k^2-2k+1)\in\Bbb Z \end {align}