¿Cómo es la métrica discreta continua?

Question

Es probado que cualquier sistema métrico $d$ es continua. Considere el espacio métrico $( \mathbb {R}, d)$ donde:

$$d: \mathbb {R} \times\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$$

$$d(x, y) = \begin {cases} 0 & x=y \\ 1 & x \neq y \end {cases}$$

Deje que $x_n \rightarrow x=0$ y $y_n \rightarrow y=0$ . Si usted toma $d(x_n, y_n) \rightarrow 1 \neq 0=d(x, y)$ . Esto demuestra que esta métrica es discontinua. ¿Qué hay de malo en mi razonamiento?

Answer 1

El hecho de que $d(x_{n},x)\to 0$ implica que eventualmente $d(x_{n},x)<1/2$ . Por lo tanto, eventualmente el $x_{n}$ deben ser todos $0$ . Lo mismo ocurre con el $y_{n}$ 's. Por lo tanto, $d(x_{n},y_{n})$ es eventualmente $0$ para tales secuencias.

Answer 2

Usted tergiversa la declaración.

Lo correcto es: dejar $(X,d)$ sea un espacio métrico. Esto induce una topología $\mathcal{T}_d$ en $X$ inducida por la métrica (la topología mínima donde todas las bolas $B(x,r)$ están abiertos). A continuación, el mapa $d: (X,\mathcal{T}_d) \times (X,\mathcal{T}_d) \to \mathbb{R}$ es continua cuando el lado izquierdo tiene la topología de producto de la topología métrica con ella misma y los reales tienen la topología euclidiana habitual.

Si utilizamos la métrica discreta, que induce la topología discreta, entonces esta topología del producto también es discreta y $d$ es efectivamente continua (como lo es cualquier mapa sobre un espacio discreto, por lo que no es muy informativo).

Answer 3

Una secuencia $x_n$ tiene límite $0$ en la métrica discreta si y sólo si eventualmente $x_n = 0$ . ¿Ayuda esto?