En la integral$\int_0^\pi\sin(x\sin(x\sin(x\cdots)))\,dx$

Question

Esta es una pregunta de seguimiento, con la adición en lugar de la multiplicación.

Considere la posibilidad de $f_1(x)=\sin(x)$ e $f_2(x)=\sin(xf_1(x))$ tal que $f_n$ satisface la relación $$f_n(x)=\sin(xf_{n-1}(x)).$$ To what value does $$L:=\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi f_n(x)\,dx$$ convergen, en el que existe?

Si no existe, ¿cuáles son los valores de $$L_e:=\lim_{k\to\infty}\int_0^\pi f_{2k}(x)\,dx,\quad L_o:=\lim_{k\to\infty}\int_0^\pi f_{2k-1}(x)\,dx$$ for $k=1,2,\cdots$?

El siguiente diagrama muestra los valores de $L_i$ para pares e impares $i$. El extraño $i$ todos tienen $x$-coordinar $0.2$ y el aun $i$ todos tienen $x$-coordinar $0$.

Podemos ver que si los límites existen, va a ser extremadamente improbable que será el mismo para pares e impares $i$; por lo tanto ¿por qué me pide la parte final de la pregunta.

He tratado de usar @Tianlalu del método como en mi anterior pregunta. Si definimos $t=\text{Sa}(x)$ como la función inversa de la $y=t\sin t$ a $[0,\pi]$, luego $$t\sin t=x\implies t=\text{Sa}(x)$$ If the limit exists, then $$f_\infty=\sin(xf_\infty)\implies xf_\infty\sin(xf_\infty)=xf_\infty^2\implies f_\infty=\frac{\text{Sa}(xf_\infty^2)}x$$ which is not at all useful since we cannot write $f_\infty$ purely in terms of $x$.

Cualquier idea sobre cómo continuar?

Answer 1

A diferencia de en el caso de la iteración $t \mapsto \sin(x+t)$, $f_n(x)$ no parecen converger más allá de un cierto umbral de $x$. De hecho, el trazado de la gráfica de $f_n)$ a $[1,\pi]$ e $201 \leq n \leq 264$ da

lo que demuestra claramente el comportamiento caótico como en la logística del mapa. Esto también puede ser vislumbrado por el hecho de que la iteración $t \mapsto \sin(xt)$ asemeja a la de la logística mapa de $t \mapsto x t(1-t)$.

Observar que el período de duplicación de la cascada se produce en el intervalo de $[0, \pi]$. Es decir,

• En el intervalo de la primera bifurcación, $(f_n(x))$ es casi periódica con peroid $2^1 = 2$,
• En el intervalo de la segunda bifurcaciones, $(f_n(x))$ es casi periódica con peroid $2^2 = 4$,

y así sucesivamente. La siguiente animación muestra esta situación.

$\hspace{3em}$

Por lo tanto, a menos que todo el efecto de tales bifurcaciones milagrosamente el equilibrio y se cancelan uno al otro, los valores de las integrales puede oscilar a lo largo de cualquier subsecuencias sobre progresiones aritméticas. La gráfica de $I_k = \int_{0}^{\pi} f_k(x) \, dx $ para $k = 1, \cdots, 100$ parece apoyar esta predicción:

$\hspace{5em}$

(Incluso th términos están unidos por líneas rojas, y raro-th términos están unidos por líneas azules.)

Por otro lado, suponiendo que $x \in [0, \pi]$ e $f_n(x)$ converge, entonces su valor limitante $f_{\infty}(x)$ admite la siguiente expresión

$$ f_{\infty}(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}\operatorname{sinc}^{-1}\left(\frac{1}{x}\right), & x \geq 1 \\ 0, & x < 1 \end{casos}, $$

donde $\operatorname{sinc}^{-1}$ es la inversa de la función de $\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}$ restringido a $[0, \pi]$. Esta expresión coincide con la figura de arriba por debajo del umbral.