Propiedades de separación en la topología

Question

Este es el Comentario 54.5 de Kasriel de Topología del libro pág. 110

"Supongamos que X es un espacio métrico, a Continuación, los subconjuntos a y B son mutuamente separados subconjuntos de X SI a y B son cerrados (o, equivalentemente, tanto en abierto) si $\cup$ B son disjuntos."

Estoy tratando de entender este comentario. Primero de todo he pensado que no se puede abrir subconjuntos que son mutuamente separadas, sino que están ni abierto ni cerrado. Segundo, ¿por qué en este caso a y B, siendo a la vez abierto y cerrado son equivalentes?

Munkres del libro también afirma que si los subconjuntos a y B forman una separación en Y, a continuación, Una es a la vez abierto y cerrado. Así que debe haber algo estoy malentendido.

Answer 1

Esta observación parece extraño para mí, al menos, no tiene sentido completo. Lo que sé es cierto: si $A$ e $B$ son distintos y cerrados o abiertos, entonces ellos son completamente separados. Pero los juegos pueden ser completamente separados sin ser abierto o cerrado: $A = (0,1) \cap \mathbb{Q}$ e $B=(1,2) \cap \mathbb{Q}$ no son ni abiertos ni cerrados, pero todavía completamente separados, como $\overline{A} \cap B = \emptyset = A \cap \overline{B}$. Tal vez el libro significa algo diferente "mutuamente separados"?