En la integral$\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\sin(x/\sin(x/\sin(x/\sin\cdots)))dx$

Question

Esta pregunta es el final de la serie (véase I y II), lo prometo!

Considere la posibilidad de $f_1(x)=\sin(x)$ e $f_2(x)=\sin\left(\frac x{f_1(x)}\right)$ tal que $f_n$ satisface la relación $$f_n(x)=\sin\left(\frac x{f_{n-1}(x)}\right).$$ To what value does $$L:=\lim_{k\to\infty}\int_{\pi/2}^{\pi/2} f_{2k-1}(x)\,dx$$ converge, for $k=1,2,\cdots$?

Aquí es un muy buen gráfico que muestra la probabilidad de convergencia de $f_n$:

El $R^2$ valor está muy cerca de a $1$, y el mejor ajuste de la curva está dada por la ecuación $$y=\frac{0.2091}{e^x-0.5226}+2.411$$ which implies that $$L\approx2.411$$

¿Hay alguna de las técnicas analíticas para demostrar esto?

Answer 1

Similar a $\int_0^\pi\sin(x+\sin(x+\sin(x+\cdots)))\,\mathrm dx=2$, sólo tenemos la preocupación de la integral en $[0, \pi/2]$ como se ha mencionado por @Stijn Dietz.

Deje $\operatorname{Sb}(x)$ ser la inversa de la función de $x\sin x$ a $[0, \pi/2]$ (tal función existe por la inyectividad). Por lo tanto, $$t\sin t =x\implies t=\operatorname{Sb}(x).$$

Suponga $f_\infty$ existe (ver 2. la tercera integral), entonces \begin{align*} f_\infty &= \sin\left(\frac x{f_\infty}\right)\\ x &=\frac x{f_\infty}\sin\left(\frac x{f_\infty}\right)\\ \operatorname{Sb}(x) &=\frac x{f_\infty}\\ f_\infty(x)&=\frac x{\operatorname{Sb}(x)}. \end{align*}

Por lo tanto, usando el hecho de que $\operatorname{Sb(0)}=0$, $\operatorname{Sb\left(\dfrac\pi2\right)}=\dfrac\pi2$ y la sustitución de $x = y\sin y$, $\operatorname{Sb}(x)=y$da \begin{align*} \int_0^{\pi/2} f_\infty(x)\,\mathrm dx & = \int_0^{\pi/2} \frac x{\operatorname{Sb}(x)}\,\mathrm dx\\ & = \int_{\operatorname{Sb}(0)}^{\operatorname{Sb}(\pi/2)} \frac {y\sin y}{y}\,\mathrm d(y\sin y)\\ & = \int_0^{\pi/2} \sin y(\sin y+y\cos y)\,\mathrm dy\\ & = \frac38\pi. \end{align*}

Por lo tanto, $$L = 2\cdot \frac38\pi = \frac34\pi.$$