¿Es$S^4$ diffeomorfhic a$S^2\times S^2$?
Además. ¿Es$S^n$ diffeomorphic a algún producto cruzado de múltiples$X\times Y$ para$n\geq2$?
¿Hay un invariante topológico elemental para dejarme ver esto?
Cualquier sugerencia es bienvenida! Gracias
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Xetius
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La segunda homotopy grupo, o el segundo grupo de homología de $S^2\times S^2$ es isomorfo a $\mathbb Z\times\mathbb Z$, que la de $S^4$ es cero, de modo que los dos espacios no son homeomórficos.
Supongamos que $S^n\cong X\times Y$, y fijar un homeo. Los puntos de recogida $x\in X$$y\in Y$, y deje $r$ ser el punto en $S^k$ correspondiente a $(x,y)$. El Künneth fórmula para la relación de homología nos dice entonces que $$H_p(S^n,S^n\setminus r)\cong H_p(X\times Y,X\times Y\setminus\{(x,y)\}\cong\bigoplus_{p'+p''=p}H_{p'}(X,X\setminus x)\otimes H_{p''}(Y,Y\setminus y),$$ taking coefficients in any field, for all $p\geq0$.
Si $X$ $Y$ son colectores de dimensiones $n'$$n''$, entonces esto implica que $H_{n'-1}(S^n,S^n\setminus r)\neq0$$H_{n''-1}(S^n,S^n\setminus r)\neq0$, debido a que en la suma directa de descomposición por encima de hay no-cero términos. Por otra parte, sabemos thhat $H_{n-1}(S^n,S^n\setminus r)\neq0$.
Dado que la esfera es un colector, esto sólo es posible si el conjunto $\{n,n',n''\}$ tiene sólo dos elementos. Desde $n=n'+n''$, $n'$ o $n''$ debe ser cero. Supongamos $n'=0$. Desde $X$ $Y$ debe estar conectado, porque $S^n$ es, vemos que $X$ es el punto.
Usted probablemente puede empujar este a $X$ $Y$ cualquier espacio, como en http://mathoverflow.net/questions/60375/is-r3-the-square-of-some-topological-space
