Usted tiene algunos (linealmente dependiente) despidos en su conjunto de generadores. En general, el grado de un compositum es no el producto de los grados.
EDIT: Y como Jacob señala a continuación, aunque esta no es la magnitud de su boo-boo porque $[\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{3}}):\mathbb{Q}]=2$--es mínimo polinomio es $x^2+x+1$ $2$nd Cyclotomic polinomio (look!). De hecho, este hecho es cierto aquí. La clave está en que $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}:\mathbb{Q}]=3$ $[\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i }{3}}):\mathbb{Q}]=2$ son coprime. De hecho, a causa de su intersección $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})\cap\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i }{3}})$ $\mathbb{Q}$ (¿por qué? sugerencia: se debe tener grado dividiendo $(2,3)$). El hecho entonces de la siguiente manera porque (entre otras razones) $\text{Gal}(LK/\mathbb{Q})$ es el subgrupo de $\text{Gal}(L/\mathbb{Q})\times\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ consiste de pares de $(\sigma,\tau)$ tal que $\sigma_{L\cap K}=\tau_{L\cap K}$. Ya que en nuestro caso, la intersección es $\mathbb{Q}$ y cada elemento de cualquier grupo de Galois ( $\mathbb{Q}$ ) corrige $\mathbb{Q}$ vemos que, de hecho, es el grupo de Galois de nuestro compositum es el producto de los grupos de Galois de los campos individuales.
Hay varias formas de encontrar el grado de la extensión. Uno de los más difíciles y computación formas libres es tener en cuenta que si $K$ es la división de campo de $x^3-5$ $K/\mathbb{Q}$ es de Galois y por lo $[K:\mathbb{Q}]=|\text{Gal}(K/\mathbb{Q})|$. Ahora, una muy útil teorema que implican el grupo de Galois es la siguiente
Teorema: Vamos a $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ ser irreductible, y tienen un grado $n$. Entonces, si $K_f$ denota una división de campo para $f$ que $[K_f:\mathbb{Q}]\mid n!$
Para ver por qué esto es cierto, tenga en cuenta que $f$ $n$ distintas raíces $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ y $K_f=\mathbb{Q}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$. Entonces, desde un elemento de $\text{Gal}(K_f/\mathbb{Q})$ permutes las raíces de $f$ y está determinado por su acción sobre ellos se obtiene una fiel acción de $\text{Gal}(K_f/\mathbb{Q})$$\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$. Esto nos da una incrustación $\text{Gal}(K_f/\mathbb{Q})\hookrightarrow S_n$ e lo $[K_f:\mathbb{Q}]=|\text{Gal}(K_f/\mathbb{Q})|\mid n!$.
Ahora, con este teorema en la mano vamos a probar que si $f(x)=x^3-3$$[K_f:\mathbb{Q}]=6$. Bien, para empezar usted saber que $K_f\supseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ y desde $\sqrt[3]{5}$ tiene un mínimo de polinomio $x^3-5$ tenemos que $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}):\mathbb{Q}]=3$ e lo $3\mid [K_f:\mathbb{Q}]$. Ahora, desde la $[K_f:\mathbb{Q}]\mid 6$ esto implica que los $[K_f:\mathbb{Q}]=3$ o $[K_f:\mathbb{Q}]=6$. Si esto último fuera cierto, evidentemente, tendríamos que $K_f=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$, pero creo que esto es claramente falsa desde $K_f$ contiene no los números reales (es decir,$e^{\frac{2\pi i }{3}}$) mientras que la $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ no. Por lo tanto, debemos tener la $[K_f:\mathbb{Q}]=6$ como se desee.
