Demostrando una ecuación no lineal diofántica no tiene soluciones

Question

Cómo puedo probar

$x^2 + y^2 + z^2 + 3(x+ y + z) + 5 = 0$

¿No tiene ninguna soluciones entero?

Answer 1

Aviso $a(a+3)$ es siempre uniforme. Esto significa $(x^2 + 3x) + (y^2 + 3y) + (z^2 + 3z) = -5$ incluso, contradicción.

Answer 2

Asumir que $(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3$ $x^2+y^2+z^2 + 3(x+y+z) + 5 = 0$ de cumple. Por simplicidad, que $f(X,Y,Z) = X^2+Y^2+Z^2 + 3(X+Y+Z) + 5$. Entonces $f(x,y,z) \equiv 0 \pmod{2}$. Aviso implica de que $a^2 \equiv a \pmod{2}$ $x^2+y^2+z^2\equiv 3(x+y+z)\pmod{2}$ y así $f(x,y,z) \equiv 5 \equiv 1 \not\equiv 0 \pmod{2}$. Contradicción.

Answer 3

Se multiplica a través de $4$ y reescribir la ecuación resultante como $$(2x+3)^2+(2y+3)^2+(2z+3)^2 =7.$ $