¿Cómo se llama esta operación?

Question

Esta operación es similar a la discreta convolución y correlación cruzada, pero tiene Coeficientes binomiales:

$$f(n)\star g(n)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f(n-k)g(k) $$

En particular,

$$a^n\star b^n=(a+b)^n$$

siguiente teorema del binomio.

Me pregunto si hay un nombre para esa operación y donde puedo leer sobre sus propiedades.

Answer 1

Se llama binomio de convolución en Graham, Knuth, y Patashnik del Concreto de las Matemáticas. No tengo el texto en frente de mí (pero apuesto a que alguien de aquí puede dar un número de página), pero aquí hay una referencia sobre el Último Teorema de Fermat blog.

También sería digno de la comprobación hacia fuera la Sección 2.3 de Wilf del Generatingfunctionology. Este es exponencial en la generación de funciones. La propiedad de interés es que si $F(x)$ $G(x)$ son exponenciales funciones de generación de $f(n)$$g(n)$, respectivamente, a continuación, $F(x)G(x)$ es la exponencial de la generación de la función de $f(n) \star g(n)$.

(Para su INFORMACIÓN: Usted puede descargar la segunda edición de Generatingfunctionology de Wilf del sitio web.)

Answer 2

Corresponde a la multiplicación de funciones generadoras exponenciales (Compruebe generatingfunctionology).

Answer 3

Observación que uno puede emplear el cálculo umbral potente para calcular formas cerradas para muchas tales circunvoluciones binomiales de funciones especiales, por ejemplo, de 161 p. de romano: cálculo del Umbral:

Answer 4

Me encontré con este mismo binomio de convolución en el siguiente curioso configuración: considere el operador de desplazamiento a la $S(a_n) = (a_{n+1})$ que mapas $(a_0, a_1, a_2, \ldots) \mapsto (a_1, a_2, a_3, \ldots)$.

Es fácil comprobar que $S$ es una derivación de esta convolución, que es: $$ S ((a_n) \star (b_n)) = S (a_n) \star (b_n) + (a_n) \star S(b_n) $$ sólo mediante el uso de la regla de Pascal $ {n+1 \choose k} = {n \choose k} + {n+1 \choose k-1} $.

Esto puede ser utilizado para dar una prueba de la forma de la solución general de una recurrencia lineal (homogénea con coeficientes constantes): Sólo tiene que repetir el mismo álgebra lineal que uno hace para dar una prueba de la forma de la solución general de una lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, intercambiando el operador de la derivada de D, sus funciones y las funciones exponenciales por el operador de desplazamiento a la S, secuencias y secuencias geométricas.

No he visto esto en otra parte y no sé si tiene otras aplicaciones distintas de la que ha esbozado anteriormente.