Una clase que no coincide con la clase de todos los conjuntos

Question

Esto debe ser trivial, así que mis disculpas a los especialistas en lógica. Estoy tratando de estudiar la teoría de Morse-Kelley, y esto es una continuación de mi pregunta anterior aquí .

Supongamos que $X$ es una clase, que no coincide con la clase $V$ de todos los conjuntos: $$X\ne V.$$ ¿Es posible que esto signifique automáticamente que existe un subconjunto $Y\subseteq X$ que no es un elemento de $X$ ?

Answer 1

Sí, esto es correcto. Por el axioma del fundamento aplicado a $V\setminus X$ , si $X$ no es todo $V$ entonces hay algo de $Y\in V\setminus X$ tal que ningún elemento de $Y$ está en $V\setminus X$ . Esto es exactamente un conjunto $Y$ tal que $Y\subseteq X$ pero $Y\not\in X$ .

(Por cierto, si quieres hacer el mismo argumento en ZF, tienes que hacer algo más complicado como tomar un $Y\not\in X$ y luego aplicar el fundamento al cierre transitivo de $Y$ ya que no se puede aplicar la fundación a las clases directamente. O puede utilizar El truco de Scott pero supongo que eso sería circular en este contexto, ya que es probable que esta afirmación se utilice para demostrar que $V=\bigcup V_\alpha$ .)