Problema del límite de la raíz cuadrada

Question

Por favor, pueden ayudarme con este problema de límites. De hecho, intenté resolverlo por el método conjugado pero no me funcionó.

Gracias.

$$\lim_{x \to 0}\; \bigg( \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x²+x}} \bigg)$$

Answer 1

Esto es probablemente demasiado sencillo, debería haber una forma más inteligente de hacerlo, pero no obstante...

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x(x^2+x)}}= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x+1} - 1)}{x\sqrt{x+1}}= \lim_{x \to 0} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+1)}=0 $$ El tercer paso se debe a la multiplicación del numerador y el denominador por $\sqrt{x+1}+1$

Answer 2

Tome $\frac{1}{\sqrt{x}}$ común y luego intentar el método conjugado.

Answer 3

También, $$\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(1-(1+x)^{-1/2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(\dfrac{1}{2}x+o(x)\right)\to 0 \mbox{ as } x\to 0^+$$