Para cualquier $f\in C([0,1],\mathbb{R})$ $$ Tf(x) = \int_0^1 [\min{x,y}\cdot f(y)] dy. $$ solo he probado que $T$ es un operador compacto de $C([0,1],\mathbb{R})$ en sí mismo. Me gustaría saber cómo calcular su espectro. (Ya que es compacto $T$ sé que su espectro está compuesta sólo de valores propios). Gracias por su ayuda.
Respuesta
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aquí está mi solución:
La función de $\min \{ x, y \}$ puede ser escrita de la siguiente manera: $$ \min\{x, y \}= \begin{cases} & y, \mbox{ if } 0 \le y \le x \\ & x, \mbox{ if } x \le y \le 1 \end{casos} $$
así nos encontramos con el formulario para $T$:
$$ Tf(x) = \int_0^x yf(y) \, dy + x \int_x^1 f(y) \, dy. $$
Ahora vamos a $Tf = \lambda f, \lambda \ne 0$. Por lo tanto tenemos: $$ \lambda f(x) = \int_0^x yf(y) \, dy + x \int_x^1 f(y) \, dy. $$ Observar que $f(0)=0$. Ahora se derivan de una vez y obtener: $$ \lambda f'(x) = \int_x^1 f(y) \, dy, $$ y aquí hemos encontrado $ \lambda f'(0) = \int_0^1 f(y) \, dy $. Ahora derivar en otro momento y obtener la condición: $$ \lambda f"(x) = - f(x), $$ de modo que el vector propio resuelve las ecuaciones diferenciales:
\begin{cases} & \lambda f'' + f = 0, \\ & f(0) = 0, \\ & \lambda f'(0) = \int_0^1 f(y) \, dy. \end{casos}
Ahora sólo teníamos que resolver el sistema; no escribo los cálculos ahora. Sin embargo, si mi cálculo se corrige, poniendo para cada $k \in \mathbb{N}$, $k \ne 0$
$$ f_k (x) = \sin \left ( \left (\frac{3 \pi}{2} + 2k \pi \right )x \right ) $$
Nos encontramos con que $f_k$ si un vector propio para el autovalor
$$ \lambda_k = \frac{4}{\pi^2 (3+ 4k)^2}. $$ Espero que está en lo correcto!
Saluti da Pisa, il DM
