¿De cuántas maneras se pueden formar 3 equipos distintos de 11 jugadores con 33 hombres?

Question

Problema:

De cuántas maneras puede 3 distintos equipos de 11 jugadores se formó con 33 hombres? Nota: hay 33 distinto a los hombres.

El problema es similar a esta: Cuántos equipos de fútbol de 11 jugadores pueden formar con 33 hombres?

Puño, pensé que la respuesta fue: $$\binom{33}{11} \times \binom{22}{11} \times \binom{11}{11}$$

Pero es claro que hay un montón de soluciones que se superponen.

Answer 1

Supongamos que queremos dividir el $33$ a los hombres en tres equipos llamados Equipo A, Equipo B, y el Equipo C, respectivamente. Hay $\binom{33}{11}$ formas de seleccionar el Equipo A. una Vez que Un Equipo ha sido recogido, hay $\binom{22}{11}$ formas de seleccionar el Equipo B, y por supuesto el resto de $11$ hombres formulario del Equipo C. Hay por lo tanto, $$\binom{33}{11}\binom{22}{11}\tag{1} maneras de escoger el nombre de los equipos. Este es el cálculo que se pensó originalmente.

Pero en realidad no tenemos la intención de nombre de los equipos; sólo queremos que los hombres se dividen en tres grupos de a $11$. Cada división puede ser asignado los nombres de los equipos (el Equipo a, Equipo B Equipo C) en $3!=6$ formas, por lo que el cálculo de $(1)$ cuenta cada división de los hombres en tres grupos de a $11$ seis veces, una vez para cada uno de los seis posibles formas de asignación de los tres nombres de los equipos. El número de maneras de escoger el sin nombre de los equipos es por lo tanto

$$\frac16\binom{33}{11}\binom{22}{11}\;.\tag{2}$$

Añadido: Aquí una forma completamente diferente a calcular.

Primero vamos a elegir el equipo que contiene la más joven de las $33$ hombres; $\binom{32}{10}$ maneras de hacerlo, ya que sólo tenemos que elegir su $10$ compañeros de equipo. A continuación, se elige el equipo que contiene el más joven de los restantes $22$ de los hombres; esto se puede hacer en $\binom{21}{10}$ maneras. Que deja a $11$ hombres para formar el tercer equipo. Este enfoque no sobre cuenta: siempre hay un equipo que contiene el hombre más joven y el que contiene el hombre más joven no en el primer equipo. Por lo tanto, hay

$$\binom{32}{10}\binom{21}{10}\tag{2}$$

las formas para elegir a los tres equipos.

Por supuesto, no sería una buena idea asegúrese de que $(1)$ $(2)$ realidad de producir el mismo resultado:

$$\begin{align*} \frac16\binom{33}{11}\binom{22}{11}&=\frac16\cdot\frac{33!}{11!22!}\cdot\frac{22!}{11!11!}\\\\ &=\frac13\cdot\frac{33\cdot32!}{11!22!}\cdot\frac12\cdot\frac{22\cdot 21!}{11!11!}\\\\ &=\frac{11\cdot32!}{11!22!}\cdot\frac{11\cdot21!}{11!11!}\\\\ &=\frac{32!}{10!22!}\cdot\frac{21!}{10!11!}\\\\ &=\binom{32}{10}\binom{21}{10}\;. \end{align*}$$

Answer 2

Y, sin embargo, otro enfoque...

La línea de los 33 hombres, y asignar los primeros 11 para el Equipo a, el segundo 11 para el Equipo B y el restante 11 para el Equipo de C.

La línea puede ser formado en $33!$ maneras. Pero esto cuenta como distinta de la $11!$ reordenamientos de los 11 hombres dentro de cada uno de los tres equipos.

Por lo tanto, tenemos $33! / (11!)^3$ formas de configurar los tres equipos.

Este cálculo se cuenta como distintos disponer de un determinado grupo de 11 en el Equipo a, o en el Equipo B o en Equipo C. Si este no es el caso (no estoy seguro!) luego se divide por $3!$