Teorema de la función implícita para $f:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$

Question

Estoy atrapado en este problema y yo estaría encantado si alguien me ayudaron:

Por el teorema de la función implícita, debe ser demostrado que: $$f(x,y,z) := z^{3}+2xy-4xz+2y-1 .$$

El nivel cero set $f^{-1}(0)$ en un barrio de la $U$ $(x_0, y_0) = (1,1)$ puede ser reescrito a través de una función derivable $z=g(x,y)$ donde $g(1,1)=1$. Entonces también las derivadas parciales: $g_x(1,1), g_y(1,1)$ debe calcularse.

La derivada parcial con respecto a$z$: $f_z = 3z^2- 4x$, y sostiene que $3z^2 - 4x \ne 0$, porque de lo contrario el invertibility no se le daría nada más. Así que si $(x_0, y_0)=(1,1)$ $z^3- 4z+4=0$ da $3$ soluciones, de los cuales ninguno es tal que $3z^2-4 = 0$. Por lo que el nivel cero conjunto en $U$ puede ser reescrito a través de $g(x,y)$.

Ahora la tarea restante es para solucionar $z^3 +2xy-4xz+2y-1=0$$z$. Yo me siento en esta final:

$$z^3- 4xz=-2xy-2y+1 = z(z^2- 4x)=-2xy-2y+1 \Rightarrow z = \frac{-2xy-2y+1}{z^2-4x} .$$

Según Wolfram Alpha, hay 3 soluciones exactas.

Answer 1

Por el teorema de la función implícita, si podemos demostrar que $f_z(1,1)\neq 0$, luego "el nivel cero set $f^{−1}(0)$ en un barrio de la $U$ $(x_0,y_0)=(1,1)$ puede ser reescrito a través de una función derivable $z=g(x,y)$", tal y como te gustaría mostrar. Para ver esto, tenemos $$f_z(1,1)=3z^{2}-4x\Big|_{(x,y,z)=(1,1,1)}=3-4=-1\neq 0.$$ Ahora, sinc $f^{−1}(0)$ puede ser escrito como $z=g(x,y)$ en un barrio de la $U$$(x_0,y_0)=(1,1)$, tenemos $f(x,y,g(x,y))=0$, o lo que es equivalente, $$g(x,y)^{3}+2xy-4xg(x,y)+2y-1=0.$$ Ahora, tomar la derivada parcial de la ecuación anterior con respecto a $x$, obtenemos $$3g^2(x,y)g_x(x,y)+2y-4g(x,y)-4xg_x(x,y)=0.$$ Evaluar en $(x,y)=1$ y $g(1,1)=1$, tenemos $$3g_x(1,1)+2-4-4g_x(1,1)=0,$$ lo que implica que $g_x(1,1)=-2$. Del mismo modo, tomar la derivada parcial de la ecuación anterior con respecto a $y$, evaluar en $(x,y)=1$, obtenemos $$3g^2(1,1)g_y(1,1)+2-4g_y(1,1)+2=0.$$ Desde $g(1,1)=1$, obtenemos $g_y(1,1)=4$