Característica de Euler en los pullbacks

Question

Dada una pushout $P=B\cup_AC$ que representamos como un diagrama conmutativo

$$ \begin{matrix} A & \stackrel{f}{\rightarrow} & B\\ \downarrow{g} & &\downarrow{k} \\ C &\stackrel{h}{\rightarrow} & P \end{matrix} $$ la característica de Euler viene dada por $\chi(P)=\chi(C)+\chi(B)-\chi(A)$ .

¿Tenemos una situación similar cuando se construye un espacio a partir de un pullback, es decir, lo que se puede decir de $\chi(X)$ cuando un espacio $X$ viene dado por a retroceso : $$ \begin{matrix} X&\stackrel{f}{\rightarrow}&Y\\ \downarrow{g}&&\downarrow{k}\\ Z&\stackrel{h}{\rightarrow}&T \end{matrix}$$

Answer 1

Como la carta de Euler es multiplicativa en las fibraciones, si $Y\to T$ es un fibrado, $\chi(X)=\frac{\chi(Y)\cdot\chi(Z)}{\chi(T)}$ (y, por tanto, la misma fórmula siempre es válida para los pullbacks de homotopía) - si, por ejemplo, todas las características de Euler están definidas y son distintas de cero.

Answer 2

Esto dependerá en gran medida de los mapas. Por ejemplo, podría tener $k(Y)=\{p\}$ y $h(Z)=\{q\}$ dos puntos distintos $p\ne q$ , en cuyo caso tienes $X=\emptyset$ . Siempre se puede elegir este tipo de mapas a menos que $T=\{\ast\}$ . En este último caso, el cálculo de la característica de Euler $\chi(Y\times Z)=\chi(Y)\cdot\chi(Z)$ es trivial. Por lo tanto, no creo que haya una fórmula muy satisfactoria en general, pero tienes que

$$X = \left\{\, (y,z) \in Y\times Z \::\: h(z)=k(y) \,\right\}.$$

En casos concretos, se podría calcular $\chi(X)$ de eso mediante la escisión.