¿Es el producto de punto válido para vectores de coordenadas de longitud infinita?

Question

En Wikipedia, dice: el producto de punto es válido para "cualquier número de dimensiones". Llamémosle $n$.

$$u\cdot v = |u||v|\cos(\theta)$$

¿Es esto todavía cierto si dejamos $n$ ir hasta el infinito?

EDIT: Por vectores coordenadas de longitud infinte, me refiero a vectores coordenadas con infinitos términos como $u = <u_1 ...="" ...u_n="">$</u_1>

Answer 1

Primero de todo, el producto escalar de dos vectores $(v_1,\dots,v_n)$ $(u_1,\dots,u_n)$ está definido por: $$u \cdot v = \sum_i u_i v_i$$ y el ángulo de $\theta$ es por consecuencia definidos, por lo que $$\cos \theta = \frac{u\cdot v}{\lvert u\rvert \lvert v\rvert}.$$

Como se puede ver el producto escalar puede ser extendido a infinito de dimensiones, si la serie $$\sum_i u_i v_i$$ converge. Este es el caso, por ejemplo, cuando ambos $u$ $v$ satisfacer: $$\sum u_i^2 < \infty.$$ Las secuencias que satisfacen esta propiedad son los elementos del espacio que se llama $\ell^2$.