Progresión de la integral indefinida a la integral definida -$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{5-3\cos x} dx$

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral:$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{5-3\cos x} dx$ $

Podemos evaluar indefinidamente uno primero -$\int\frac{1}{5-3\cos x}dx = \frac{1}{2}\tan^{-1}(2\tan(\frac{x}{2})) + C$. El problema es que$\frac{1}{2}\tan^{-1}(2\tan(\frac{2\pi}{2}))-\frac{1}{2}\tan^{-1}(2\tan(\frac{0}{2}))=0$ pero hay una pista en este ejercicio de que el valor de esta integral definida es mayor que$0$. Entonces, ¿qué salió mal? ¿En qué trampa he caído durante la evaluación de esta integral?

Answer 1

Insinuación:

PS

Debe hacerlo porque la función primitiva se interrumpe en$$\int_{0}^{2\pi}=\int_{0}^{\pi}+\int_{\pi}^{2\pi}$.

Answer 2

la gráfica de$\cos x$ es simétrica sobre$x = \pi,$ por lo tanto$$\int_0^{2\pi}\frac{dx}{5-3\cos x} = 2 \int_0^{\pi}\frac{dx}{5-3\cos x} = \tan^{-1}\left(2\tan(x/2)\right)\Big|_0^{\pi} =\frac{\pi}2.$ $