Torres de poder, y notación para la exponencia iterada

Question

Hasta ahora, usamos el símbolo $$\sum$$ para denotar la suma de los importes, y $$\prod$$ para denominar a los productos. Pero, ¿hay alguna de esta notación para la exponenciación?

Se ha realizado alguna investigación acerca de la exponenciación de este tipo, donde los números en el "poder de la torre" forma alguna secuencia? $$a_1^{{a_2}^{{...}^{a_n}}}$$ Y no tiene que ser una secuencia finita, debo añadir...

¿Alguien sabe de algún ejemplo que sabemos cómo evaluar? ¿Alguien sabe cómo determinar la convergencia o divergencia en estas "torres de energía"? Y puede alguien sugerir o me apunte hacia cualquier existente para denotar algo como esto?

Permítanme darles un ejemplo. Supongamos que tenemos el poder de la torre definido por la secuencia $$a_n=\frac{3}{2^n}$$ ¿Alguien sabe cómo evaluar el poder infinito de la torre definido por esta secuencia (parece converger) ? ¿Parcial?

Ya sabemos cómo evaluar algunos infinito torres de energía donde $a_n$ es una constante, como $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}}}=2$$

¿Alguien sabe de algún recurso sobre este punto me hacia, o cualquier original de opiniones o ideas acerca de este concepto?

Gracias!

Answer 1

Aquí está mi investigación (en cierto modo), si tiene una torre de poder finita como:

$a^{{(ab)}^{(ab^2)}}$

entonces tenemos$(ab)^{(ab^2)}$ como potencia según las reglas de potencia utilizadas para los enteros, al menos esto es igual a:

$$a^{(ab^2)}b^{(ab^2)}=(a^a)^{(b^2)}(b^{(b^2)})^a=({(a^a)^b})^b({(b^b)^b})^a$ $ este es nuestro exponente si luego lo aumentamos obtenemos:$$\Large a^{(a^{(ab^2)}b^{(ab^2)})}=a^{((a^a)^{(b^2)}(b^{(b^2)})^a)}=a^{(({(a^a)^b})^b({(b^b)^b})^a)}= (a^{({(a^a)^b})^b }\Large )^{({(b^b)^b})^a}= ???$ $

Es un trabajo en progreso que supongo para mí. Este ejemplo fue para una secuencia geométrica.