Problema de valor inicial 2% ODE de orden $y''+ 4y = 8x$

Question

¿Cómo puedo hacer para resolver esta ecuación $y''+ 4y = 8x$?

Progreso

He encontrado la solución general por su forma homogénea. Lo que no sé es cómo encontrar su solución particular.

Answer 1

Siga los pasos:

1) encontrar las soluciones de la homogénea Oda $y_1,y_2$

$$y''+4y=0$$

2) encontrar una solución particular $y_p$ asumiendo

$$y_p=Ax+B$$

luego conecte en la parte posterior de la Oda para encontrar el % de constantes $A$y $B$. Ver tabla

3) construir la solución general

$$ y = c_1y_1 + c_2y_2 + y_p $$

Answer 2

Cabe señalar que su DEQ es invariante a un grupo de traducción: $$ G(x,y)=(x+\lambda, y+2\lambda)\lambda_o=0 $$In other words, if you substitute $x'=x+\lambda$ and $y'=y+2\lambda$ into your equation (and please note that the primes do not signify differentiation, and to avoid confusion here I'll use $\frac{dy}{dx}=\dot{y}$), then you get the same DEQ. The stabilizers for this invariant group transformation are $\mu=y-2x$, $\nu=\dot{y}$, and $\eta=\ddot{y}$. La reescritura de su DEQ en términos de los invariantes del grupo de los estabilizadores (Sophus Lie se refiere a ellos como diferenciales invariantes), se obtiene $$ \eta=-4\mu $$Ahora observamos que $$ \frac{d\mu}{dx}=\nu-2 $$y $$ \frac{d\nu}{dx}=\eta=-4\mu $$lo que significa $$ \frac{d\nu}{d\mu}=\frac{\frac{d\nu}{dx}}{\frac{d\mu}{dx}}=\frac{-4\mu}{\nu-2} $$a separable equation. Before proceeding further it is worth noting that when the slope of the direction field is undefined a singularity (or saddle points and their interconnecting separatrix) is present. These are points that do not change under group transformation. The only nontrivial singularities occur when $\nu=2$ and $\mu=0$, which lead to the conclusion that $y=2x$ es una solución especial para su DEQ. Si nos separamos de la ecuación, se convierte en $$ (\nu-2)d\nu=(-4\mu)d\mu $$which integrates to a quadratic for $\nu$. $$ \nu^2-4\nu+(4\mu^2+C_1)=0 $$Jugando un poco rápido y suelto con la constante, $$ \nu=2\pm2\sqrt{C_1-\mu^2} $$Señalando que $$ \frac{d\mu}{dx}=\nu-2=\pm2\sqrt{C_1-\mu^2} $$puede una vez más variables independientes y, después de un poco de trabajo, llegar a una solución.
$$ y=C_1sin(\pm2x+C_2)+2x $$Note that if the constants are set to zero you get the singularity in the $\mu\nu$-direction field of the stabilizers which is the special solution, $y=2x$.