¿Lo que hizo que mal con esta derivación?

Question

$$ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $$ Por lo tanto \begin{align} \frac{1}{\cos(x)} &= \frac{1}{1-(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots)} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots)^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty (1-\cos(x))^n \end{align}

Esta parte me siento bien con el, pero ahora voy a intentar encontrar una potencia de la serie de $\tan(x)$ en términos de $\cos(x)$ con el siguiente razonamiento:

Me di cuenta de que mediante la diferenciación de La función secante me gustaría conseguir $\sec(x) \tan(x)$ y por la diferenciación de la serie, también obtendríamos un $\sin(x)$, por lo que iba a terminar con $\sec^2(x)$ (que es el derivado de la $\tan(x)$) por lo tanto, por la integración que iba a encontrar a mí mismo un poder de serie para $\tan(x)$ en términos de $\cos(x)$ voy a hacer como que se explica a continuación:

$$ \frac{d}{dx}[\sec(x)] = \sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dx}(1-\cos(x))^n $$

$$ \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \sin(x) \sum_{n=0}^\infty (n+1) (1-\cos(x))^n $$

$$ \frac{1}{\cos^2(x)} = \sum_{n=0}^\infty (n+1) (1-\cos(x))^n $$

Ahora a redefinir $(1-\cos(x))^n$ mediante la siguiente identidad:

$$ (1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^\alpha {\alpha \elegir k} x^k $$

Por lo tanto:

$$ (1-\cos(x))^n = \sum_{k=0}^n {n \elegir k}(-\cos(x))^k $$

Ahora esto es donde me encuentro con algunas dudas:

$$ \s^2(x) = \sum_{n=0}^\infty (n+1) \sum_{k=0}^n {n \elegir k}(-\cos(x))^k $$ Desde el siguiente es verdadero para el común de alimentación de la serie: $$ fg \longleftrightarrow \left\{\sum_k a_k b_{n-k} \right\} $$

Por lo tanto, mediante el establecimiento $a_k = \frac{(-\cos(x))^k}{k!}$ $b_{n-k} = \frac{1}{(n-k)!}$

$$ \sum_{n=0}^\infty (n+1) \sum_{k=0}^n {n \elegir k}(-\cos(x))^k = \sum_{n=0}^\infty (n+1)! e^{1-\cos(x)} $$

Esto es claramente incorrecto, obviamente, ya que la serie no converge... ¿Cuál fue mi error?

Answer 1

$\sum_{n=0}^\infty (n+1) \sum_{k=0}^n {n \elegir k}(-\cos(x))^k = \sum_{n=0}^\infty (n+1)! e^{1-\cos(x)} $

El problema es que, en la serie, sólo uno de los términos el $x^n$.

Aquí está un examen más detallado de lo que sucede:

Vamos $u = \cos(x) $. Tenemos

$\frac1{u} =\frac1{1-(1-u)} =\sum_{n=0}^{\infty} (1-u)^n $.

La diferenciación término a término, y, a continuación, utilizando el teorema del binomio,

$$\begin{align} \frac{-1}{u^2} &=\sum_{n=1}^{\infty} (-n)(1-u)^{n-1}\\ &=-\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(1-u)^{n}\\ &=-\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^ku^k \text{ ( you need }u^n \text{ as well as } u^k)\\ &=-\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} (n+1)(\frac{n!}{k!(n-k)!})(-1)^ku^k \text{ (here is the problem)}\\ &=-\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^ku^k}{k!}\sum_{n=k}^{\infty} \frac{(n+1)!}{(n-k)!}\text{ (the inner sum diverges violently)}\\ &=-\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^ku^k}{k!}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+k+1)!}{n!}\\ \end{align} $$

Usted sólo puede hacer el serie de multiplicación si la misma variable se produce en ambas series.