Intuición geométrica sobre la derivada exterior

Question

Sea $M$ sea una variedad lisa. Un $k$ -la forma es una sección del haz $\bigwedge^k T^\ast M$ es decir, si $p\in M$ et $\omega$ es un $k$ -formar entonces $\omega_p$ es una $k$ -función real alterna lineal definida en el producto cartesiano de $k$ copias del espacio tangente en $p$ .

Dado $\omega$ se puede construir un nuevo diferencial $k+1$ forma denominada derivada exterior $d\omega$ . Esto puede definirse fácilmente en un sistema de coordenadas $(x,U)$ como

$$d\omega = \sum_{}d\omega_{i_1\dots i_k}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$$

donde $\omega_{i_1\dots i_k}$ son los componentes de $\omega$ en el sistema de coordenadas $(x,U)$ . Entonces se puede demostrar fácilmente que esta definición no depende del sistema de coordenadas elegido. A partir de ahí es posible demostrar muchas propiedades de la derivada exterior.

Ahora, el problema es que simplemente no puedo tener una intuición geométrica sobre lo que es la derivada exterior. Como yo sé, un $k$ -forma puede considerarse como un objeto que realiza mediciones en $k$ -vectores, es decir, un objeto capaz de medir proyecciones de $k$ -vectores. Este punto de vista proviene del hecho de que $\bigwedge^k V^\ast$ es isomorfo al espacio de funciones lineales sobre $\bigwedge^k V$ .

En este contexto, ¿cuál es la intuición geométrica de la derivada exterior? Dada una $k$ -forma ¿cómo se puede entender desde un punto de vista intuitivo cuál es su derivada exterior?

Answer 1

Quiero empezar con una simple analogía con la derivada (ordinaria). Supongamos que $\omega$ es un $k$ -y $X_1, \ldots, X_k$ son campos vectoriales. Y por el momento, quiero que te imagines que el $X_i$ los campos son todos "constantes cerca de algún punto $p$ . Ahora que realmente no tiene sentido (a menos que estés en $\Bbb R^n$ ), pero tengan paciencia. Si $p$ es el polo norte, y $X_1(p)$ es un campo vectorial que apunta hacia, digamos, Londres, entonces tiene sentido definir $X_1$ cerca de $p$ apunte también hacia Londres, y esos vectores (en el espacio 3) estarán todos bastante cerca de $X_1(p)$ .

Entonces podemos definir una función $$f(q) = \omega(q)[X_1(q), \ldots, X_k(q)]$$ definido para $q$ cerca de $p$ .

¿Cómo puede $f(q)$ varían según $q$ se aleja de $p$ ? Bueno, depende de la dirección que $q$ movimientos. Así que podemos preguntarnos: ¿Qué es $$f(p + tv ) - f(p)?$$ O mejor aún, ¿qué es $$\frac{f(p + tv ) - f(p)}{t}?$$ especialmente como $t$ se acerca a cero?

Ese "derivado" es casi la definición de $$d\omega(p)[X_1(p), \ldots, X_k(p), v].$$

Esta "definición" tiene un par de problemas:

1. ¿Y si hay varias formas de ampliar $X_i(p)$ es decir, ¿y si "constante" no tiene realmente sentido? ¿Será la respuesta la misma independientemente de los valores de $X_i$ cerca de $p$ (a diferencia de en $p$ )?
2. ¿Cómo sabemos que $d\omega$ tiene todas esas bonitas propiedades como ser antisimétrico, etc.?
3. ¿Cómo encaja esto con div, grad, curl y todo eso?

Los problemas 1 y 2 son la razón por la que tenemos definiciones extravagantes de $d$ que hacen que los teoremas sean fáciles de demostrar, pero ocultan el conocimiento. Permítanme atacar brevemente el punto 3.

Para una forma 0, $g$ la definición informal que he dado anteriormente es exactamente la definición del gradiente. Tienes que hacer algunas cosas con parciales mixtos (creo) para verificar que el gradiente, como función del vector $v$ es en realidad lineal en $v$ por lo que se puede escribir $dg(p)[v] = w \cdot v$ para algún vector $w$ que denominamos "gradiente de $g$ en $p$ ."

Así que ese caso es bastante bonito.

¿Y el rizo? Eso es más complicado, e implica la identificación de cada forma 2 alterna con una forma 1 (porque $2 + 1 = 3$ ), así que me lo voy a saltar.

¿Y la div? Para el tipo más básico de 2 formas, algo como $$\omega(p) = h(x, y, z) dx \wedge dy$$ y el punto $p = (0,0,0)$ y el vector $v = (0,0,1)$ y los dos "campos vectoriales" $X_1(x,y,z) = (1,0,0)$ et $X_2(x, y, z) = (0, 1, 0)$ acabamos viendo

$$\begin{align} f(p + tv) &= h(0, 0, t) dx \wedge dy[ (1,0,0), (0, 1, 0)]\\ &= h(0,0, t) \end{align}$$ y el cociente de diferencias acaba siendo sólo $$\frac{\partial h}{\partial z}(0,0,0)$$ Esa cifra le indica cómo $\omega's$ "respuesta" a la zona en la $xy$ -plano cambia a medida que se mueve en el $z$ dirección.

¿Qué tiene eso que ver con la divergencia de un campo vectorial? Bueno, ese campo vectorial es en realidad un campo de 2 formas, y se ha vuelto a aplicar la dualidad. Pero en coordenadas, parece $(0,0,h)$ y su divergencia es exactamente la $z$ -derivado de $h$ . Así que las dos nociones vuelven a coincidir en este caso.

Pido disculpas por no explicar todos los detalles; creo que la idea principal viene de reconocer la idea de que la derivada exterior es en realidad sólo una derivada direccional con respecto a su último argumento... y luego hacer el álgebra para ver que también es una derivada direccional con respecto a los OTROS argumentos, lo cual es bastante interesante y conduce a cosas interesantes como el teorema de Stokes.

Answer 2

Se puede visualizar la derivada exterior en términos de una operación de frontera. El hecho de que $d \circ d = 0$ puede entenderse entonces como consecuencia del hecho de que el límite de un límite está vacío. La idea es difícil de explicar sin imágenes, así que aquí va un breve PDF que explica la idea y da algunos diagramas agradables para ayudarle a visualizar las formas diferenciales y la operación de derivada exterior en el entorno euclidiano.

También hay un buen debate sobre mathoverflow sobre este tema que podrían resultarle útiles.