Alguien ha investigado o construido una teoría de conjuntos, se $T$, que se desarrolla de una manera que es a la inversa de cómo la mayoría de los estándar conjunto de teorías desarrollar? En lugar de comenzar con el null conjunto, la generación de los conjuntos finitos y la expansión en más y más grandes conjuntos infinitos, ya sea indefinidamente o hasta que el conjunto universal es alcanzado, la teoría de la $T$ de proceder en la dirección opuesta. $T$ comienza con un conjunto universal y de cada conjunto (en el universo) de $T$ genera una colección adecuada de los subconjuntos. Esta descendiendo proceso continúa indefinidamente o culmina en lo finito de conjuntos, los únicos-y, finalmente, un conjunto null. La noción primitiva de $T$ " $x$ es un subconjunto de a $y$" en lugar de "$x$ es un elemento de $y$" (que es la noción primitiva de la norma conjunto de teorías). Podría ya no existir una teoría de $T$, que podría ser de algún interés?
Respuestas
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Una posible manera de construir conjuntos de forma iterativa a partir de "el universo" en lugar de un conjunto vacío (y el proceso en si es bastante simétrica a la usual) es reemplazar los axiomas con duales. En lugar de que el axioma de extensionality
$$X = Y \equiv (t \in X \equiv t \in Y)$$
usar el axioma de "intensionality", según el cual, los conjuntos que pertenecen a la misma conjuntos son iguales:
$$X \sim Y \equiv (X \in t \equiv Y\in t),$$
en lugar de los basados en la comprensión de conjunto generador de $\{x\ |\ P(x)\}$
$$t \in \{u \mid P(u)\} \equiv P(t)$$
uso, hmm.. "incomprensión" basada en el conjunto de generador de $[x\ |\ P(x)]$
$$[u \mid P(u)]\in t \equiv P(t),$$
etc. Enchufe descarado.
La mereología podría describirse como teoría de conjuntos con la relación de subconjunto como la noción primitiva. Echa un vistazo a http://plato.stanford.edu/entries/mereology/ . Las obras de Stanisław Leśniewski en las referencias pueden contener lo que está buscando.
Este documento, http://www.pgrim.org/philosophersannual/pa28articles/forsterset.pdf , por Thomas Forster, describe conceptos iterativos de asentamiento que son más amplios que la jerarquía clásica, y pasa la mayor parte de su tiempo discutiendo un enfoque que se basa hacia arriba. y hacia abajo simultáneamente.
