¿Grupo topológico $G$ totalmente desconectado $\Rightarrow$ $G$ Hausdorff?

Question

En Wikipedia, leí que un grupo topológico es necesariamente Hausdorff si está totalmente desconectado. ¿Es eso cierto? Lo leí en esta página:

http://en.wikipedia.org/wiki/Totally_disconnected_group

Si no es así, ¿alguien tiene un ejemplo de un grupo totalmente desconectado, que no sea Hausdorff?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Es cierto. Si $G$ es un grupo topológico totalmente desconectado, entonces el componente conectado de la identidad $e$ es $\{e\}$ (porque los componentes de un espacio totalmente desconectado son solo puntos). Dado que los componentes conectados de cualquier espacio topológico son cerrados, $\{e\}$ es cerrado. Esto implica que $G$ es Hausdorff: la diagonal $\Delta\subseteq G\times G$ es la preimagen de $\{e\}$ bajo la aplicación continua $(g,h)\mapsto gh^{-1}$, y por lo tanto es cerrada.

Answer 2

Un espacio $X$ es Hausdorff si y solo si la diagonal $\Delta \subseteq X \times X$ está cerrada. En el caso de un grupo topológico, la diagonal se puede describir como la preimagen de $\{1\}$ bajo el mapa $X\times X \to X : (x, y) \mapsto xy^{-1}$, y un punto está cerrado en un espacio desconectado.