Hay un lugar aseado prueba de ello.
En primer lugar, tenga en cuenta que ya hay un análogo para esto:
DLMF §10.21 dice que una de Rayleigh
la función de $\sigma_n(\nu)$ se define como una potencia similar de la serie
$$ \sigma_n(\nu) = \sum_{m\geq1} y_{\nu, m}^{-n}. $$
Se vincula a http://arxiv.org/abs/math/9910128v1 entre los demás como un ejemplo de cómo
para evaluar este tipo de cosas.
En su caso, llame a $\zeta_m = y_{\nu,m}$ y $z=y_{\nu-1,k}$ ($\nu$ es $n$ desplazado por $1$), por lo que después de
la expansión en fracciones parciales de su suma es
$$ \sum_{m\geq1} \frac{\zeta_m z}{(\zeta_m-z)^3} = \sum_{m\geq1}
\frac{z^2}{(\zeta_m-z)^3} + \frac{z}{(\zeta_m-z)^2}. $$
Introducir la función
$$ y_\nu(z) = z^{-\nu/2}J_\nu(z^{1/2}). $$
Por DLMF 10.6.5 sus derivados
satisface las dos relaciones
$$\begin{aligned}
y'_\nu(z) &= (2z)^{-1} y_{\nu-1}(z) - \nu z^{-1} y_\nu(z)
\\&=
-\tfrac12 y_{\nu+1}(z).
\end{aligned} $$
También tiene el infinito producto
expansión
$$ y_\nu(z) = \frac{1}{2^\nu\nu!}\prod_{k\geq1}(1 - z/\zeta_k). $$
Por lo tanto, cada suma parcial de $(\zeta_k-z)^{-s}$, $s\geq1$ puede ser evaluado en
términos de los derivados de la $y_\nu$:
$$ \sum_{k\geq1}(\zeta_k-z)^{s} = \frac{-1}{(s-1)!}\frac{d^s}{dz^s}\log
y_\nu(z). $$
Cuando la evaluación de este logarítmica de la derivada, la derivada $y'_\nu$
puede ser expresado en términos de $y_{\nu-1}$, bajando en $\nu$, pero la derivada
$y'_{\nu-1}$ puede ser expresado en términos de $y_\nu$ el uso de los otros
relación que va para arriba en el índice de $\nu$. Así que incluso derivadas de orden superior sólo contienen $y_\nu$$y_{\nu-1}$.
He calculado la suma de utilizar este procedimiento con un CAS como:
$$ -\tfrac12z^2(\log y)"' -z(\log y)"
= \tfrac18\nu + z^{-1} P\big(y_{\nu-1}(z)/y_\nu(z)\big), $$
donde $P$ es el polinomio
$$ P(q) = -\tfrac18 q^3 + (\tfrac38\nu\tfrac18) q^2 + (-\tfrac14\nu^2
+ \tfrac14\nu \tfrac18)q. $$
Al $z$ es el elegido para ser cualquier raíz de $y_{\nu-1}$,
$z=\mathsf{BesselJZero}[\nu-1, k]\hat{}2$, $P(q)=0$, su suma es igual
a
$$ \frac{\nu}{8}, $$
que es $(n+1)/8$ en su notación.
Es posible derivar una serie de formas cerradas por la suma de
este tipo. Por ejemplo, mediante la diferenciación de $\log y$ diferente
(ir $\nu\to\nu+1\to\nu$), se podría obtener
$$ \sum_{m\geq1}
\frac{y_{\nu,m}y_{\nu+1,k}}{(y_{\nu,m}-y_{\nu+1,k})^3} =
-\frac{\nu}{8}. $$
Algunos otros ejemplos, para que el r.h.s. es independiente de $z$ ($\zeta_m=y_{\nu,m}, z=y_{\nu-1,l}$, $l$ arbitraria):
$$ \begin{gathered}
\sum_{k\geq1} \frac{\zeta_k}{(\zeta_k-z)^2} = \frac14,\\
\sum_{k\geq1} \frac{z^2}{(\zeta_k-z)^4} - \frac{1}{(\zeta_k-z)^2} + \frac1{24}\frac{5-\nu}{\zeta_k-z} = \frac{1}{48}, \\
\sum_{k\geq1} \frac{\zeta_k}{(\zeta_k-z)^4} + \frac1{96}\frac{z-\zeta_k-8+4\nu}{(\zeta_k-z)^2} = 0.
\end{reunieron} $$
o con $z=y_{\nu+1,l}$, $l$ arbitrario:
$$ \begin{gathered}
\sum_{k\geq1} \frac{z^2}{(\zeta_k-z)^3} = -\tfrac18\nu-\tfrac14,
\end{reunieron} $$
y consiguen messier con grados más altos.
