Demostración del teorema del sándwich/apretón para series.

Question

Estoy interesado en demostrar un teorema, que supongo que se puede llamar teorema del sándwich o del apretón para las series.

Supongamos que tenemos tres series: $\sum^{\infty}_{n=1}a_{n}$ , $\sum^{\infty}_{n=1}b_{n}$ y $\sum^{\infty}_{n=1}c_{n}$ . Sabemos que $\sum^{\infty}_{n=1}a_{n}$ y $\sum^{\infty}_{n=1}c_{n}$ convergen; además, supongamos que para todo $n\in\mathbb{N}$ se cumple la siguiente desigualdad: $a_{n}<b_{n}<c_{n}$ . Entonces, la serie $\sum^{\infty}_{n=1}b_{n}$ también convergerá.

La única forma que se me ocurre para abordar la demostración de lo anterior sería a través del criterio de Cauchy, es decir, mostrando que

$$\forall_{\varepsilon>0}\,\exists_{n_{\varepsilon}}\,\forall_{m>k>n_{\varepsilon}}\quad|b_{k+1}+...+b_{m}|<\varepsilon.$$

Según tengo entendido, para demostrarlo, tendríamos que ligar de alguna manera $\left|\sum^{m}_{n=k+1}b_{n}\right|$ por $\left|\sum^{m}_{n=k+1}c_{n}\right|$ y/o $\left|\sum^{m}_{n=k+1}a_{n}\right|$ . Si asumimos la no negatividad de los términos de $\sum{}b_{n}$ y $\sum{}c_{n}$ la tarea se vuelve trivial. Sin embargo, sin esta suposición, tengo problemas para encontrar el límite correcto.

Agradecería algunas pistas sobre cómo se podría hacer, o posiblemente consejos sobre un enfoque diferente de la prueba. Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $\varepsilon > 0$ se le dará. Por la convergencia de la serie $\sum a_n$ resp. $\sum c_n$ Hay un $N(\varepsilon)$ tal que para todo $N(\varepsilon) \leqslant k < m$ tenemos

$$\left\lvert\sum_{n=k+1}^m a_n \right\rvert < \varepsilon\land \left\lvert\sum_{n=k+1}^m c_n \right\rvert < \varepsilon.\tag{1}$$

Por las desigualdades $a_n \leqslant b_n \leqslant c_n$ tenemos

$$\sum_{n=k+1}^m a_n \leqslant \sum_{n=k+1}^m b_n \leqslant \sum_{n=k+1}^m c_n.$$

Ahora $(1)$ implica

$$-\varepsilon < \sum_{n=k+1}^m b_n < \varepsilon$$

para $N(\varepsilon) \leqslant k < m$ .

Desde $\varepsilon$ era arbitraria, la secuencia de sumas parciales es una secuencia de Cauchy, y $\sum b_n$ converge.

Answer 2

Tenemos que

$$a_{n}<b_{n}<c_{n}\iff 0<b_{n}-a_{n}<c_{n}-a_{n}$$

entonces la serie positiva

$$\sum b_{n}-a_{n}$$

converge para la prueba de comparación y por lo tanto

$$\sum b_{n}=\sum (a_{n}-(b_{n}-a_{n}))=\sum a_{n}-\sum (b_{n}-a_{n})$$

converge ya que es la suma de dos series convergentes.