irracionalidad de los números racionales suma

Question

Asumir que $x_1, \dots, x_n$ son números de reales no negativos tales que $$ x_1 + \dots + x_n \in \mathbb Q ~ ~ ~ \text {y} ~ ~ ~ x_1 + 2x_2 + \dots + nx_n\in \mathbb Q. $$

¿Esto implica que el % de números $x_1,\dots, x_n$es racional también?

Answer 1

Contraejemplo:

$$x_1=\sqrt2$$ $$x_2=10-2\sqrt 2$$ $$x_3=\sqrt 2$$ $$x_1+x_2+x_3=10\in Q$$ $$x_1+2x_2+3x_3=\sqrt 2+20-4\sqrt 2+3\sqrt 2=20\in Q$$

Answer 2

No en general, no. Restando la primera ecuación de la segunda le da $$ x_2 + 2x_3 + \cdots + x_n (n-1) \in \mathbb{Q}, $$ y restando esto desde el principio otra vez da $$ x_1 - x_3 - 2x_4 - \cdots - \in \mathbb{Q (n-2) x_n}. $$ Así que si % o $n=1$ $n=2$y $x_1,\ldots,x_n$ es racionales. De lo contrario no necesita ser. Por ejemplo, que $x_1=1+\pi$ $x_2=10-2\pi$ y $x_3=\pi$ (y $x_n=0$ $n\ge 4$).

Answer 3

Lo cierto es que si $\sum_{j=1}^n j^k x_j$ es racional para$k = 0,1,\ldots,n-1$, $x_j$ son racionales. Que es debido a la $n \times n$ Vandermonde matriz con entradas de $j^k$ es invertible, y su inversa tiene racional entradas. Pero si usted imponer menos de $n$ condiciones de $\sum_j a_{ij} x_j$ racional, tiene un coeficiente de la matriz con menos filas que de columnas, y esto tendrá un trivial en el espacio nulo. Usted puede agregar a cualquier solución de un vector en el espacio nulo (que puede tener todo su valor distinto de cero entradas irracional) sin cambiar ninguna de las sumas.

Answer 4

Si $n \leq 2$ es fácil de demostrar que la respuesta es sí.

Si $n \geq 3$.

Elegir $x_3=\pi$ y $x_2=10-2 \pi$. Que $x_1=5+\pi$, $x_4,..,x_n \in \mathbb Q$. Generarily más

$$x_3 \notin \mathbb Q \,;\, x_2=n-2x_3 \,;\,x_1=m+x_3$$

P.S. Si en cambio pides que todos $1 \leq k \leq n$ tiene

$$x_1+2x_2+..+kx_k \in \mathbb Q$$

luego es sencillo mostrar que todos ellos son racionales.

Answer 5

No, si $n \geq 3$. Consideremos el siguiente ejemplo $n=3$: $x_1 =\pi$, $x_2 = 10-2\pi$, $x_3= \pi$.